 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Общие понятия. Дифференциальные и интегральные уравнения
Дифференциальные и интегральные уравнения
При изучении химии, физики, экологии часто возникает уравнения связывающие неизвестную функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями.
1) dx/dt=-kx—уравнение радиоактивного распада, где k-постоянная распада,
x-количество неразложившегося вещества в момент времени t
Скорость распада dx/dt пропорц. количеству нераспавшегося вещества.
2) 
—Уравнение движения точки массой m под действием силы F
Сила равна произведению массы на ускорение.
3) 
Нахождение неизвестной функции, определенной дифференциальным уравнением, является основной теории дифференциальных уравнений. Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функция одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (ур. 1)и2)). Если неизвестная функция зависит от двух переменных, то уравнение называется уравнением частных производных (ур.(3)). Порядок дифференциального уравнения называется максимальный порядок, входящий в уравнении производной неизвестной функции. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при постановке в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество.
Например уравнение радиоактивного распада:
dx/dt=-kx (1.1)
(1.2) где c- произвольная постоянная
Уравнение (1.1) не вполне определяет закон распада x=x(t).
Нужно также знать количество вещества x(
в момент времени 
Тогда закон Распада примет вид:
x= 
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения, называется интегрированием дифференциального уравнения. Не всегда решение находится в явном виде.
При использовании ПО можно решить дифференциальное уравнение приближено с большой плотностью.
Пусть математическая точка движения под действием силы F:
Уравнение Движения: m 
= F(t, 
(1,3)
Для нахождения закона движения 
(t) необходимо знать начальное положение точки и скорость:
(
= 
(1.4)
() = 
(1.5)
При (1.4) и (1.5) называется Задачей Коши
Вектор уравнения 2-ого порядка (1.3) можно переписать в виде системы 2-ух векторных уравнений 1-го порядка, если рассмотреть скорость v как вторую неизвестную формулу:
= 
= F (t, , ) (1.6)
Каждое векторное уравнение в трёхмерном пространстве может быть заменено системой из 3-х векторов на оси координат. При интегрировании дифференциального уравнения обычно ставят цель найти все его решения. Например: в уравнение (1.1) все решения получены из решения (1.2) при некотором выборе постоянного C. Решение (1.2) – общее решение уравнения (1.1)
Решение дифференциального уравнения, получившегося из общего решения называется частным. Однако иногда не удаётся включить в общее решение все решения уравнений. Решения не являющееся частными называются особыми.
Говорят, что для дифференциального уравнения поставлена задача, если заданы некоторые дополнительные условия, простые случаи задаются начальные значения искомых функций и её производных. То есть ставиться задача Коши.
Например: в задаче (1.1) задаётся начальное количество веществ 
, не всегда удаётся найти решение в явном виде.
y=y(x)
Иногда оно задаётся не явно ȹ(x+y)=0 – называется интегральным уравнением. Соответственно при не явном задании общего решения уравнения получится общий интеграл.
Рассмотрим уравнение 1-го порядка разрешенное относительно 1-ой производной. Пусть функция x(y) имеет область определений D ϵ 
, которое также является определённым уравнением (1.7)
Обычно предполагается, что f непрерывно в D:
y= ϕ (x) xϵ [a; b]
не прерывно и непрерывно дифференцируема на [a; b] такая, что (x, ϕ(x)) ϵ D и выполняется ϕ ‘ (x)= f (x, ϕ(x)), x ϵ [a, b]
Решение уравнения (1.7) на [a, b]
4) 
=2x
y(x)= 
+c xϵ (-∞; +∞)
y= +2
y= +1
y=
5) = 3 
= 3 y 
* 
= 
3 y 
+ c =3x
y= 
Областью определения является вся плоскость
Заметим, что это уравнение имеет решение y(x)=0, которое нельзя получить из общего выбором константы C.
Геометрическое решение (1.7) y=ϕ(x) соответствует линии лежащей в области D в
и представляет графическую функцию ϕ (x) эта линия - Интегральная линия (1.7)
Так как формула ϕ(x) интегральная линия имеет в каждой точке (x, ϕ(x)) касательную, угловой коэффициент который определяется из уравнения
ϕ ‘ (x)= f (x, ϕ(x))
Очевидно угловой коэффициент можно вычислить в любой точке (x,y) ϵ D не находя самой интегральной кривой.
Выбрав направление векторной касательной, можно сопоставить каждой точке области D некоторой не нулевой векторной_______? так в области D получится направленное поле; и так уравнение (1.7) соответствует в области D векторному полю интегрально направленному.
Задача решения этого уравнения имеет следующею геометрическую интерпретацию:
через каждую точку области D потребуется провести кривую называемую интегральной касательной, в которой каждая точка определяется векторным полем (1.7)
Заметим, что общему решению соответствует семейство кривых, а решение задачи Коши интегрирует кривая проходящая через точку (, 
) ϵ D
При геометрическом решении уравнения (1.7) можно воспользоваться методом Изоклин.
Изоклины - геометрическое место точки, в каждой точке которой вектор задает направленное поле
f(x, y)= const = k
Различные значения K соответствуют различным изоклинам. B точке пересечения с изоклиной интегрированная линия имеет касательные с угловым коэффициентам K.
6) 
= 
= K
+ 
= 
§ 2 Дифференциальное уравнение 1-го порядка
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка первой степени можно разрешить относительно к производной представляя в виде (1.7). Простейший пример такого уравнения:
= 1(х)
В этом случае:
y= 
Содержит произвольную постоянную, которая может быть определенна если известно первоначальное значение:
y() =
Тогда y= + 
Вообще при некотором ограничении на функцию f(x)=y уравнение:
= f (x, y)
также имеет одинаковое решение удовлетворяющее условию:
y () =
а его общее решение зависит от одной произвольной постоянной
Уравнение с раздельной переменой
Дифференциальное уравнение вида:
(y) d y= 
(x) dx (2.1)
называется уравнением с раздельными переменными
Функции (x) и (y) будем считать непрерывными, если y – решение, то после подстановки его в (2.1) и интегрируя, получим:
Уравнение (2.2)и (2.1) – равносильны
Может получиться так, что интегралы 
нельзя выразить в элементарной функции. Однако, в этом случаи мы будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения (2.1) выполненной, поскольку мы сведём её к нахождению данного неопределенного интеграла (квадратуры).
Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условия:
y = (
то оно очевидно определяется уравнением:
= 
которое получится из:
= + С
Воспользовавшись начальными условиями: y = (
Уравнение вида:
В котором коэффициент при дифференциале распадается на множители зависимые только от x и от y, называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными и после деления на:
приводит к уравнению с разделенными переменными
dx = 
dy
При деление на 
(y) * 
(x) могут потеряться частные решения, обращающие в ноль произведение 
(y) * (x)
Уравнения, приводящее к уравнениям с разделенными переменными
Некоторое уравнение путем замены переменных можно подвести к уравнению с разделенными переменными.
a и b –постоянные числа, которые заменой:
z = ax + by
приводят к уравнению с разделенными переменными
f (x)
= dx
x = 
+ C
Пример: 
= 2k + y
z = 2x + y
= 2 + z
= dx
Ln (z + 2) = x + C
z = - 2 + 
e ˄
2 x + y = -2 + 
y = -2 -2x +
К уравнению с разделёнными переменными приводит и однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:
= f (
)
z = y = x z
x = 
Напомним, что функция ϕ (x, y) называется однородной степени k
4 (tx, ty) = 
ϕ (x, y)
Правая часть однородного уравнения, является однородной функцией переменных x и y нулевой степени однородности.
Поэтому уравнение вида:
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
Будет однородным если M (x, y) и N (x, y) является однородной функцией (x, y) одинаковой степени однородности, то есть в этом случае
Уравнение такого вида преобразуется в однородное уравнение путем переноса из начала координат в точку пересечения (
) переменных
Действия в новых координатах
x = x - 
y = y - 
Свободный член = 0
Коэффициент при текущей координате остается неизменным, а производная:
и уравнение (2.3) преобразится к виду:
)
или 
) = ϕ (
и является Однородным Уравнением
Этот метод не применим если эти прямые:
x + 
y + = 0 - параллельные
x + 
y + 
= 0
на 
= c
= k
И уравнение (2.3) может быть записано в виде: 
f (
которое с заменой
z = 
, преобразованное уравнение в уравнении с разделом переменной.
Линейные Уравнения 1-го порядка.
Линейные Дифференциальные Уравнения 1-го порядка -линейное уравнение относительно неизвестной функции и её производной
Линейное уравнение имеет вид:
Где p(x) и f (x) непрерывное функции от x в той области в которой требуется проинтегрировать уравнение (2.4)
Если f(x) ≡ 0, то уравнение (2.4) – линейное однородное
В линейном однородном уравнении:
Интегрируя получим:
ln │y│ = 
> 0
y = C e - 
при делении на y мы потеряем решение y=0. Однако его можно включить в общее решение (2.5) позволив C=0
Для интегрирования неоднородного линейного уравнения (2.4) может быть применен метод вариации произвольного постоянной (М. Лагранжа):
Интегрируя однородное уравнение, его решение имеет вид (2.5);
потом чтобы найти общее решение (2.4), позволим константе C быть функцией f (x), то есть
y = C (x) 
C (x) p(x) * 
и подставляем в исходное неоднородное уравнения (2.4)
* 
-C (x) p (x) 
+ p(x) C (x) 
= f(x)
C (x) = 
* dx
y (x) = * 
* dx (2.6)
В конкретном случае не целесообразно пользоваться формулой (2.6)
А нужно делать вычисления по Методу Лагранжа
Ищем решение по Методу Лагранжа
C(x) = 
Ответ: y=(
* x
Множества дифференциальных уравнений могут быть сведены к линейным
Например уравнение Бернулли:
Замена:
Z = 
Дифференцируя получим:
(1 – n) 
и подставляя в (2.7) получим линейное уравнение
+ p (x) z = f (x)
Уравнение Риккати
В общем случае не интегрированно в квадратурах
Однако если известно одно частное решение 
, то уравнение Риккати можно свести к уравнению Бернулли
Для этого положим сделаем замену:
y = 
+ p(x) + p (x) z + q (x) * 
+ q (x) * 2 z + q (x) 
= f (x)
+ p(x) z + 2q (x) z +q(x) = 0
+z (p (x) + 2q (x) ) + q (x) =0
n=2 Бернули
2.5 Уравнение в полных дифференциалах
d U = 0
U = C
U (x, y) = C
Может быть, что часть уравнения:
M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (2.8)
является полным дифференциалом некоторой функции U (x, y)
d U (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) d y => уравнение (2.8) принимает вид:
d U (x, y) = 0
Если функция y(x) является решением уравнения (2.8) тогда dU (x, y(x)) ≡ 0
U (x, y(x))= c (2.9)
C= const
Если некоторая функция y(x) обращается в тождественное уравнение (2.9), то дифференциал=0 и наоборот:
d U (x, y (x)) = 0
U (x, y) = C
Для того чтобы левая часть уравнения (2.8) является полным дифференциалом некоторой функции от (x, y), как известно необходимо условие Эйлера
(2.10)
Если условие Эйлера выполняется, то уравнения (2.8) легко интегрировать
Дифференцируем d U = M d x + N d y
d U= 
При вычитание интеграла 
величина у рассматривается как const
Поэтому c(y) является произвольной функцией y
Для определения C(y) дифференцируем найденную функцию U(x, y) по y
Получим: 
(
В некотором случае,когда левая часть (2.8) не является полной дифференциалом, легко удается подобрать функцию 
умножения на которую, левая часть (2,8) превращается в полный дифференциал то есть:
d U = ϻM dx + ϻN dy
Такая функция ϻ– интегрируемая множеством ϻ(x, y) может привести к появлению постороннего решения, обращающего 
(x, y) в ноль
Надо подобрать ненулевое решение уравнения:
(2.11)
Вообще задача интегрирования (2.11) ничем нелегче (2.10)
Если считать ϻ – Ф одной переменной будь то x, y, …, то задача упрощается
Например: условие, когда ϻ (x) => 
- непрерывная функция x =>
Ln M = 
M= C * 
(2.12)
Можно считать c=1, так как нам нужен хоть 1 интегральный множитель
Если 
является функцией тока x то интегральное множество найдется по уравнению (2.12)
Аналогично можно выписать условия при которых интегральное множество зависит от другой выбранной переменной
Уравнение Лагранжа
Поиск по сайту: