АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Диференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Читайте также:
  1. D) постоянных затрат к разнице между ценой реализации продукции и удельными переменными затратами.
  2. I I. Тригонометрические уравнения.
  3. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  4. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  5. V2: Применения уравнения Шредингера
  6. V2: Уравнения Максвелла
  7. VI Дифференциальные уравнения
  8. А выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид
  9. Алгебраические уравнения
  10. Алгебраические уравнения
  11. Алгоритм составления уравнения химической реакции
  12. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ (13)

 

Дифференциальным уравнением I порядка с разделяющимися переменными называется ДУ, имеющее следующий общий вид:

 

 

Каноническая форма ДУ с разделяющимися переменными: (1)

Отличительной особенностью ДУ (1) является то, что в его правой части стоит произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от y.

Учитывая, что производную можно записать, как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента: , разделим переменные в ДУ (1), собрав в одной части равенства только выражения, зависящие от х, а в другой – только выражения, зависящие от у:

-называется ДУ с разделёнными переменными.

 

Пусть

Тогда ДУ с разделёнными переменными можно переписать в следующем виде:

Подставляя в последнее равенство функции и , получим общий интеграл ДУ(1):

.

 

Таким образом, выведено правило решения ДУ с разделяющимися переменными:

1) переходим от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделёнными переменными;

2) интегрируем обе части ДУ с разделёнными переменными с добавлением произвольной постоянной .

Замечание.

Разделение переменных в ДУ(1) проходило при условии . Это означает, что случай должен быть рассмотрен отдельно. Так как уравнению могут удовлетворять функции и эти же функции удовлетворяют ДУ, то случай может давать особые решения ДУ(1).

 

Пример 1

 

Решить ДУ с разделяющимися переменными:

Решение

Разделяем переменные в данном ДУ, пользуясь свойством пропорции:

– получили ДУ с разделёнными переменными.

Интегрируем обе части ДУ с разделёнными переменными, добавляя постоянную :

.

В результате интегрирования получили общий интеграл исходного ДУ. Переход к общему решению возможен, если сможем выразить через и в явном виде. В данной задаче это возможно:

Ответ:

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)