|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Определение функции Грина для краевой задачи эллиптического типап.1. Рассмотрим краевую задачу , (1) с граничным условием (2) Здесь – внешняя нормаль к области D, ограниченной поверхностью S. Функции , и , а – заданные функции. Это внутренняя краевая задача. Если область D находится с внешней стороны замкнутой поверхности S, то мы имеем внешнюю краевую задачу. Область D – это непрерывное многообразие. Суть метода функции Грина. Сначала ищут решение G (M,P) следующей краевой задачи: (3) (Р – некоторая произвольно выбранная, но фиксированная точка области D) с граничным условием (однородным) . (4) Искомое решение должно быть непрерывным вместе с частными производными всюду в , кроме, может быть, точки Р, в которой функция G (M,P) имеет особенность. Здесь есть - функция Дирака. Решение задачи (3)-(4) называют функцией Грина задачи (1)-(2). Единой функции Грина не существует, для каждой задачи своя функция Грина. Основная теорема. Если функция Грина найдена, то с ее помощью находится решение u (M) краевой задачи (1)-(2). Для нахождения функции Грина применим вторую формулу Грина, положив . Будем иметь Так как , , то С учетом свойств - функции получаем, что , или . (5) Для первой краевой задачи, когда имеем , . Тогда из формулы (5) следует . Для второй краевой задачи , , , . И из формулы (5) получаем . Для третьей краевой задачи , , , . Формула (5) дает в этом случае . (6) Таким образом, решение находится однозначно. п.2. Свойство симметрии функции Грина: Доказывается с помощью второй формулы Грина, если положить В результате применения второй формулы Грина получается, что что и требуется доказать. п.3. Особенность функции Грина. Рассмотрим только случай, когда k (M) = 1, q (M) = 0. Уравнение и краевое условие, которым удовлетворяет функция Грина, является линейными Здесь – оператор граничных условий, Р (М) – произвольная, но фиксированная точка рассматриваемой области D, в которой ищется решение, точка Q принадлежит границе области D. В точке Р (М) функция Грина должна иметь особенность, т. к. присутствует -функция Дирака. Поскольку уравнение линейное, то решение можно представить в виде суммы двух функций, одна из которых содержит особенность вида , а именно: где есть гармоническая в области D функция, то есть А функция имеет особенность в точке Р, при и удовлетворяет уравнению Для определенности рассмотрим трехмерный случай. Пусть – шар радиуса R с центром в точке , а – его сфера. Проинтегрируем уравнение для по области , получим По формуле Остроградского с учетом того, что будем иметь Итак, . И так как , то на сфере радиуса R производная т. е. зависит только от R. И так как на сфере то или Так как R – произвольное значение, то после интегрирования получим Произвольную постоянную можно «отдать» функции и положить В нашем случае R – расстояние от точки Р до текущей точки М, поэтому функцию Грина можно представить в виде (7) Итак, имеем особенность при В двухмерном случае получим (8) Функцию определяется из решения краевой задачи (9) Для внешних краевых задач функция Грина определяется аналогично и обладает теми же свойствами. Замечание. Таким образом построенная функция Грина не всегда существует. Так, для второй краевой задачи она не существует. Ибо по построению (*) Рассмотрим вторую краевую задачу, граничное условие для которой имеет вид Отсюда, в силу соотношения (*), имеем на сфере т. е. Для гармонической функции должно выполняться условие (**) А у нас, например, на сфере: Необходимое условие гармоничности (**) нарушено. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |