АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Решение «квадратных» СЛУ

Читайте также:
  1. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  2. II. Решение логических задач табличным способом
  3. III. Разрешение споров в международных организациях.
  4. III. Решение логических задач с помощью рассуждений
  5. MFG/PRO – лучшее решение для крупных и средних промышленных предприятий с дискретным типом производства
  6. V2: ДЕ 55 - Решение линейных неоднородных уравнений со специальной правой частью
  7. А всякое другое решение ему пропорционально.
  8. Аналитическое решение
  9. Антиполия-противоречие в в законе. Противоречие разрешаясь делает чего то возможным. Отрицание-отрицания ( разрешение противоречия (синтез))
  10. Арбитражное разрешение международных споров в Древней Греции
  11. Арбитражное разрешение международных споров в Древнем Риме
  12. Б) Правовое разрешение конфликтов

 

Пусть т = п, т.е. число уравнений системы равно числу ее неизвестных

(2)

В этом случае основная матрица системы (2) есть квадратная матрица, поэтому такие системы также называют «квадратными». Рассмотрим методы исследования и решения таких систем.

I. Матричный метод.

Как уже отмечалось, с помощью матриц

, Х = , В = ,

система (2) может быть записана в виде матричного уравнения АХ = В. Если матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица А–1. Умножая обе части равенства АХ = В на А–1 слева, получим

(А–1А)Х = А–1В Þ ЕХ = А–1В Þ Х = А–1В.

Эта формула и выражает суть матричного метода решения «квадратной» системы.

Таким образом, если основная матрица «квадратной» СЛУ невырожденная, то система совместна и, чтобы найти решение этой системы, достаточно обратную матрицу для основной матрицы системы умножить слева на столбец свободных членов. При этом, т.к. обратная матрица для заданной единственна, то СЛУ имеет единственное решение.

Если основная матрица СЛУ вырожденная, то вопрос о совместности системы остается открытым, но матричный метод применять уже нельзя.

II. Правило Крамера.

В основе метода лежит теорема:

Теорема 2.1.(Крамера)

Если в «квадратной» СЛУ определитель |A| основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение и неизвестные хi могут быть найдены по формулам

, (3)

где D = |A| ¹ 0 – определитель основной матрицы системы, а D i - определитель, получаемый из определителя D заменой его i -го столбца столбцом свободных членов.

Определитель D = |A| называют главным определителем системы, определители D i – побочными.

Доказательство: Так как D = |A| ¹ 0, то Х = А–1В, откуда получаем

Х= = . =

= , откуда .

Рассмотрим определитель

Если в этом определителе заменить i -й столбец столбцом свободных членов, то получим определитель

Следовательно, = . ЧТД.

Замечание. Формулы (3) дают возможность исследовать совместность СЛУ. Если D ¹ 0, то система совместна и определенна. Если D = 0, но хотя бы один D i ¹ 0, то система несовместна. Если D = 0 и все D i = 0, то система может быть совместной, но неопределенной, а может быть и несовместной.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)