АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений

Читайте также:
  1. A) к любой экономической системе
  2. A) прогрессивная система налогообложения.
  3. C) Систематическими
  4. CASE-технология создания информационных систем
  5. ERP и CRM система OpenERP
  6. HMI/SCADA – создание графического интерфейса в SCADА-системе Trace Mode 6 (часть 1).
  7. I Понятие об информационных системах
  8. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  9. I. Основні риси політичної системи України
  10. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ТЕРМИНЫ) ЭКОЛОГИИ. ЕЕ СИСТЕМНОСТЬ
  11. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  12. I. Суспільство як соціальна система.

Пусть дано n- мерноелинейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис е = (е 1, е2, …, еn). Пусть М – линейное подпространство в L.

Определение 30. Будем говорить, что система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.

Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга r с n переменными задаёт в любом n- мерном пространстве Ln (если в нём зафиксирован базис) (n–r)-мерное линейное подпространство.

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 30. Если в линейном n- мерном пространстве Ln зафиксирован базис, то любое его к -мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с n неизвестными ранга (n – к).

Доказательство. Пусть в Ln зафиксирован базис е = (е 1, е2, …, еn). Пусть Lк – линейное к -мерное подпространство в Ln. Выберем в Lк любой базис а = (а1, а2, …, ак). Пусть В матричной форме а = е × А, где А = .

Так как а – базис, то ранг матрицы А равен к.

 

Если d – любой вектор, то d Î Lк Û d = с1 а1 + с2 а2 + … + ск ак, где с1, с2, …, ск независимо друг от друга пробегают все элементы поля Р. Их называют параметрами. В матричном виде d = а × с, где с столбец параметров. Отсюда d = е× (А ×с). Если х – столбец координат вектора а в базисе е, то d = е×х. Отсюда, е×х = е× (А ×с) и х = А ×с. Распишем в координатном виде.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк. После исключения параметров получится система (n – к) линейных однородных уравнений. Векторы а1, а2, …, ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.

Следовательно, система векторов (а1, а2, …, ак) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (n – к).

Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис е = (е 1, е2, е3, е4, е5). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = < а1, а2, а3 >, если а1 = (1, –2, 2, 0, 1), а2 = (0, 4, 7, 0, 1), а3 = (–2, 3, –1, 0, 0).

Решение. Найдём ранг системы векторов (а1, а2, а3). Для этого достаточно найти ранг матрицы . Минор . Окаймляющий минор ¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. векторы а1, а2, а3 линейно независимы и подпространство L3 – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.

d Î L3 Û d = с1 а1 + с2 а2 + с3 а3. Отсюда d Î L3 Û х1 = с1 – 2с3, х2 = –2с1 + 4с2 + 3с3, х3 = 2с1 + 7с2 – с3 , х4 = 0, х5 = с1 + с2. Если из первого второго и пятого уравнений выразить с1, с2 и с3 и подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему

Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)