АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Доказательство. Пустьl1ya1 + + ls yas Î Mi –2 Þ

Читайте также:
  1. Глава 4. Социальное доказательство.
  2. Доказательство.
  3. Доказательство.
  4. Доказательство.
  5. Доказательство.
  6. Доказательство.
  7. Доказательство.
  8. Доказательство.
  9. Доказательство.
  10. Доказательство.
  11. Доказательство.

Пустьl1y a 1 +...+ l s y as Î M i –2 Þ

Þ y(l1 a 1 +...+ l s as) Î M i –2 Þy i -2y(l1 a 1 +...+ l s as) = q Þ

Þ l1 a 1 +...+ l s as Î M i –1 Þ l1 = 0,..., l s = 0.

Векторы y a 1,...,y as линейно независимы в Mi -1 относительно Mi –2. ■

 

Перейдем к построению канонического базиса в N r.

Пусть – базис Mk = Nr относительно Mk -1. Тогда элементы линейно независимы в Mk -1 относительно Mk –2.

Дополним систему этих векторов до базиса Mk -1 относительно Mk 2:

базис Mk –1 относительно Mk –2.

Применяя к этим векторам линейный оператор j,получим систему, линейно независимую в Mk –2относительно Mk -3. Вновь дополним ее до базиса Mk -2 относительно Mk –3.

Продолжив действия по описанному алгоритму, получим базис Nr.

y2

¼........................

Векторы базиса выписаны в виде таблицы, в которой pk столбцов. Векторы столбца i порождают циклическое подпространство Qi, причем

,

где базис подпространства Qi канонический. Следовательно, выписав в строчку столбец за столбцом, получим канонический базис линейного пространства V.

Заметим, что матрица линейного оператора jв этом базисе диагональна тогда и только тогда, когда Nr = M 1.

 

Пример. Матрица линейного оператора jв базисе e 1, e 2, e 3, e 4, e 5линейного пространства имеет вид

.

Построить канонический базис.

Характеристический многочлен c(l) = | А - l Е | линейного оператора имеет один корень l =3.

Матрица линейного оператора y = j -3e в этом базисе

;

Пусть z =x 1 e 1+... + x 5 e 5, y(z) = q Þ

Þ x 1y e 1 + x 2y e 2 + x 3y e 3 + x 4y e 4 + x 5y e 5= qÞ

Þ x 1(3 e 2+3 e 3) + x 23 e 3 + x 3q + x 4(- e 5) + x 5q = qÞ

Þ3 x 1 e 2 + 3(x 1 + x 2) e 3 – x 4 e 4 = q.

Эти выкладки в матричном виде можно записать так:

, ,

;

;

Таким образом, если , то , т.е.

.

Пусть , . Повторив рассуждения, получим , где

.

Для нахождения координат вектора z при условии необходимо решить систему:

,

т.е. – любые числа. Это означает, что

.

Так как нулевая матрица, то условию удовлетворяют все векторы линейного пространства, т.е.

.

Перейдем к построению относительных базисов.

базис М 3относительно М 2,

базис М 2относительно М 1.

В базисе М 2можно заменить е2 на . Тогда базис М 2относительно М 1. Векторы , линейно независимы в М 1и их можно взять в качестве базиса М 1. Объединение относительных базисов – базис корневого пространства.

базис V.

Расположим эти векторы несколько в ином порядке

.

Линейный оператор действует в этом базисе так:

Матрица линейного оператора в этом базисе имеет канонический вид – состоит из двух клеток Жордана

.

Следовательно, канонический базис.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)