АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Понятие подобия

Читайте также:
  1. I. Общее понятие модернизма
  2. Административное правонарушение: понятие и признаки, правовая основа№9
  3. Административные взыскания: понятие, перечень и наложения
  4. Акты официального толкования норм права: понятие, признаки, классификация.
  5. Акты применения норм права: понятие, классификация, эффектив-ность действия. Соотношение нормативно-правовых и правоприменительных актов.
  6. Амнистия: понятие и признаки. Помилование: понятие, правовые последствия, отличие от амнистии.
  7. Аппарат государства. Понятие органа аппарата государства.
  8. Билет 31(понятие и виды субъектов правоотношений)
  9. БИОКЛИМАТ. ОСНОВНЫЕ КЛИМАТООБРАЗУЮЩИЕ ФАКТОРЫ. ПОНЯТИЕ ОБ АДАПТАЦИИ. АДАПТАЦИОННЫЕ НАГРУЗКИ
  10. Бухгалтерская отчетность организации: понятие виды и подготовительные работы перед составлением отчетности.
  11. В процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе.
  12. Виды подобия.

 

Особое место среди математических моделей занимают подобные. Если при аналогии двух объектов распространение свойств одного объекта на другой носит характер предположения и нуждается в проверке, то при подобии знание свойств одного объекта значит знание свойств другого объекта.

Подобие - это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям.

Впервые понятие «подобие» появилось в геометрии.

Геометрическое подобие – определяют подобность геометрических фигур по сходственным характеристикам. Многоугольник с определенным количеством сторон n, подобен другому многоугольнику с таким же количеством сторон n, если соответствующие углы многоугольников равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Определение геометрического подобия многоугольников, на примере треугольников, состоит в следующем:

треугольники подобны, если у них сходственные стороны пропорциональны, а сходственные углы равны и, т. е. выполняются следующие равенства:

 

Рис.5 Подобие треугольников

 

, (1)

 

где mL и mm - масштабные коэффициенты (масштабы) величин сторон и углов, характеризующие пропорциональность сходственных параметров.

(Оговорка: если mL и mm называются масштабными коэффициентами, то величины обратные им, т.е. 1/mL и 1/mm будут называться масштабами и обозначаться, соответственно, ML и Mm или наоборот, или вообще не делается различия между терминами «масштаб» и «масштабный коэффициент»).

На практике при геометрическом подобии используются не характеристики длин сторон многоугольника, а их координаты.

Если ввести систему прямоугольных координат X, Y, то при геометрическом подобии все координаты xiA, yiA первого многоугольника пропорциональны соответствующим координатам xiB, yiB второго многоугольника, т.е. выполняются соотношения

xiA, / xiB =mx; yiA / yiB = my; mx = my,

где xi и yi координаты любой точки, находящейся на отрезках прямых, определяющих контуры соответствующего многоугольника; mx и my - масштабы.

Данный вид подобия может существовать и в пространстве большей размерности: трех - и более мерном.

Дальнейшее развитие понятия подобие является - аффинное подобие, при котором допускается неравенство масштабов по отдельным координатным осям.

 

Рис.6 Превращение параллелепипеда в куб.

 

При аффинном подобии для сходственных точек в трехмерном координатном пространстве будут справедливы следующие соотношения:

xiA / xiB = mx; yiA / yiB = my; ziA / ziB = mz; mx¹ my ¹ mz.

При этом требуется введения специальных преобразующих функций, осуществляющих взаимосвязь между координатами моделей и объекта, часто - нелинейных.

Пример: установить условия аффинного подобия на рис. 4, отрезки линий e1 - l1 являются не линейно сходственными линиями e2 - l2, точки e1, f1, g1, h1, i1 соответствуют точкам e2, f2, g2, h2, i2.

 

Рис.7 Нелинейное преобразование

 

Уравнения для контуров e1 - i1 и e2 - i2 имеет вид:

x1 + y1 = 6; x22 + y22 = 24.

Вводятся масштабные коэффициенты Fx = x1 / X1 и Fy = y1 / Y1, вид которых пока неизвестен, для уравнения первого контура можно записать:

X1 Fx + Y1 Fy = 6,

где X1 и Y1 преобразованные в область B значения x1 и y1 из области A. После тождественных преобразований уравнение выглядит:

[(2X1 / Ö x1) Fx]2 + [(2Y1 / Ö y1) Fy]2 = 24,

таким образом Fx = Ö x1 / 2; Fy = Ö y1 / 2 и, следовательно:

x2 = 2Ö x1 и y2 = 2Ö y1.

В приведенном примере функции преобразования Fx и Fy имеют одинаковый вид, но нелинейный характер.

Следующий пример: даны две сходственные функции: , если масштабы my = y1 / y2: mx = x1 /x2, соответственно равны 2 и 4, то функции подобны.

 

Рис.8 Подобные функции (пример)

 

В этом примере переменные имеют различные масштабные коэффициенты по координатным осям.

Пример. Имеются два генератора переменного тока. Их описывает функция зависимости напряжения от времени: и . Выражения для масштабов имеют вид mu = u1 / u2, mt = t1 / t2. Время, входящее в одну формулу и время, входящее в другую формулу имеют вполне определенный физический смысл, так как t1 и t2 такие различные значения одной и то же величины t, при которых фиксируются значения различных зависимых переменных u1(t) и u2(t).

Физическое и временное подобие имеет место при mu = 10 и mt = 2. Масштаб mu показывает отношение амплитуд напряжений u1 и u2, масштаб mt - отношение периодов T1 = 4c и T2 = 2c.

Рис.9 Подобие генераторов (пример)

 

В общем случае временного подобия безразмерный масштаб времени представляет отношение сходственных временных интервалов, которым соответствует неизменное отношение значений или приращений подобных временных функций. Этими параметрами могут быть периоды колебаний (как в примере), постоянные времени, длительности переходных процессов, временные задержки и т.д.

Если, например, имеются две подобные САУ, то, установив время переходного процесса одной из них t1 и зная временной масштаб mt, можно найти время переходного процесса другой системы: t2 = t1 / mt.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)