Свойства гидростатического давления

Первое свойство. Гидростатическое давление направлено всегда по внутренней нормали к поверхности, на которую оно действует.

Рассмотрим силу гидростатического давления Р, приложенную в точке С под углом к поверхности А—В объема жидкости, находящегося в покое (рис.). Тогда эту силу можно разложить на две составляющие: нормальную Рп и касательную Рt к поверхности А—В. Касательная составляющая—это равнодействующая сил трения, приходящихся на выделенную поверхность вокруг точки С. Но так как жидкость находится в покое, то силы трения отсутствуют, т. е. Рt =0.

Следовательно, сила гидростатического давления Р в точке С действует лишь в направлении силы Рп, т. е. нормально к поверхности А—В. Причем направлена она только по внутренней нормали. При предположении направления силы гидростатического давления по внешней нормали возникнут растягивающие усилия, что приведет жидкость в движение. А это противоречит условию. Таким образом, сила гидростатического давления всегда сжимающая, т. е. направлена но внутренней нормали.

Второе свойство состоит в том, что в любой точке внутри жидкости давление по всем направлениям одинаково. Иначе это свойство давления звучит так: на любую площадку внутри объёма жидкости, независимо от её угла наклона, действует одинаковое давление.

Докажем второе свойство..

Для доказательства этого свойства выделим в жидкости, находящейся в равновесии, частицу в форме треугольной призмы с основанием в виде прямоугольного треугольника А—В—С. Будем рассматривать этот объём в некоторой произвольной системе координат X, Y, Z. При этом ось у перпендикулярна плоскости. Заменим действие жидкости вне призмы на ее боковые грани гидростатическим давлением соответственно Pх, Pz, Pе.

Кроме этих сил на призму действует сила тяжести dG, равная весу призмы g*dz*dx*dy/2.

Силой тяжестью можно пренебречь. Так как она будет величиной 3-го порядка малости, а силы действующие на грани призмы 2 –го порядка малости.

Так как частица жидкости находится в равновесии, в покое, то сумма проекций всех сил, приложенных к ней, на любое направление равна нулю т.е.

Подставляя dz=de sina и dx=de cosa в предыдущие уравнения и разделив каждое уравнение dy, получим

Из выражений следует

Следовательно, гидростатическое давление на наклонную грань Р е одинаково по величине с гидростатическим давлением на вертикальную и горизонтальную грани. Так как угол наклона грани a взят произвольно, то можно утверждать, что гидростатическое давление в любой точке жидкости действует одинаково по всем направлениям.

Третье свойство. Гидростатическое давление в точке зависит только от ее координат в пространстве, т. е.

Это свойство не требует специального доказательства, так как очевидно, что по мере увеличения заглубления точки под вровень давление в ней будет возрастать и, наоборот, по мере уменьшения заглубления — уменьшаться.

4. формула Ньютона для касательных напряжений внутри жидкости и газа.

в гидромеханике- эмпирич. ф-ла, выражающая пропорциональность напряжения трения междудвумя слоями прямолинейно движущейся вязкой жидкости относительной скоростискольжения этих слоев, т. е. отнесённому к единице длины изменению скоростипо нормали к направлению движения. Предложена И. Ньютоном в 1687. В соответствиис этим законом напряжение трения т, действующее на поверхности элементарногообъёма жидкости или газа, пропорц. градиенту скорости du/dy, где и- составляющая скорости жидкости вдоль поверхности, а у - координата, <нормальная поверхности:

Коэф. пропорциональности наз. <коэф. внутр. трения жидкости или динамич. коэф. вязкости (иногда просто вязкостью).
Перенос теплоты теплопроводностью в жидкости(газе) обусловлен теми же молекулярными процессами, что и вязкость. Аналогичнаязакону (1) ф-ла

где q - кол-во теплоты, проходящеечерез единицу площади поверхности в единицу времени, Т - абс. темп-ра, n - направление нормали к поверхности выделенного элементарного объёмажидкости или газа, наз. ф-лой или законом Фурье. Коэф. пропорциональностив ф-ле (2) наз. коэф. теплопроводности (илипросто теплопроводностью).
Ф-ла (1) выражает также пропорциональностькасат. напряжения в жидкости (газе) величине скорости деформации элементарногообъёма жидкости в направлении скорости и. В случае произвольногодвижения жидкости или газа действующие на выделенный элементарный объёмнапряжения описываются тензором. Установлено, что тензор напряжений являетсялинейной ф-цией тензора скоростей деформаций элементарного объёма жидкости. <Эту линейную зависимость иногда наз. обобщённым законом Ньютона. В частности, <в плоскости, перпендикулярной оси y, касат. напряжение

где v - составляющая скорости внаправлении у, а ось х направлена вдоль поверхности. Н. з. <т. (1) справедлив лишь в случае, когда
Жидкости (газы), подчиняющиеся Н. з. т.,наз. нормальными или ньютоновскими жидкостями, а все остальные, <для к-рых закон (1) не выполняется, - аномальными или неньютоновскимижидкостями. -

5. Идеа́льная жи́дкость — в гидродинамике — воображаемая несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют вязкость, внутреннее трение и теплопроводность. Так как в ней отсуствует внутреннее трение, то нет касательных напряжений между двумя соседними слоями жидкости..

Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемых гидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.

· 6.уравнения Эйлера для покоящейся жидкости

Рассмотрим в произвольной системе координат X,Y,Z произвольную точку A. Вблизи этой точки выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллелепипеда, грани которого для простоты математических выражений параллельны координатным плоскостям.

Заметим следующее:

ь давление является функцией координат (при этом в любой точке оно по всем направлениям одинаково),

ь при переходе к точкам Ax(Ay, Az) меняется только одна координата на бесконечно малую величину dx(dy, dz), поэтому функция получает приращение только по одной координате,

ь это приращение равно частному дифференциалу по соответствующей координате

Таким образом, разность давлений, действующих на противоположные грани параллелепипеда (внутрь рассматриваемого объёма), перпендикулярные соответствующим осям, будет иметь вид:

Исходя из этого, определим разности сил, вызванных давлением, в проекции на оси координат

Кроме сил давления на параллелепипед будут действовать инерционные силы в общем случае определяемые массой и ускорениями X, Y, Z на соответствующие оси

Учитывая, что параллелепипед находится в покое, сумма сил, действующих на него, равна 0:

Разделив систему уравнений сил на массу рассматриваемого параллелепипеда, получим систему уравнений Эйлера:

На практике, чтобы избавиться от частных производных, используют одно уравнение, заменяющее систему. Для этого первое уравнение умножают на dx, второе на dy, третье на dz и складывают их:

В этой формуле сумма в скобках является полным дифференциалом давления, который в результате оказывается равным

Полученное уравнение показывает, как изменяется давление при изменении координат внутри покоящейся жидкости для общего случая относительного покоя. Это уравнение впервые получил Леонард Эйлер в 1755

7. уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости

Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости. Выделим в потоке жидкости элементарный объём dV в виде параллелепипеда (рис. 1.4). Как уже было показано (см. стр. 14), сумма проекций всех сил, действующих на параллелепипед, составляет:

Согласно основному принципу динамики (второй закон Ньютона), сумма проекций всех сил, действующих на движущийся элементарный объём жидкости, равна произведению массы жидкости на её ускорение.

Масса жидкости в объёме параллелепипеда: .Ускорение жидкости, движущейся со скоростью , равно , а проекции ускорения на оси координат: , , , где - проекции скорости на оси координат.

Таким образом, получаем:

или после сокращения на :

(1.21)

Система уравнений (1.21) представляет собой дифференциальные уравнения движения Эйлера для установившегося потока идеальной жидкости.

Поиск по сайту: