Увеличением количества испытаний

В каждом конкретном случайном эксперименте случайные события образуют множество, на котором могут быть введены различные операции, позволяющие из простейших событий формировать сложные события. В дальнейшем, следуя традиции, случайные события как элементы соответствующего множества будут обозначаться прописными латинскими буквами, а когда это будет удобно, то и русскими. Словесное описание содержания события раскрывается с помощью знака равенства, который в данной ситуации читается как “состоит в том, что”. Например, запись А=“выпал орел” может быть прочитана как написано и означает, что содержанием события А является выпадение орла при бросании монеты.

Первой в списке операций логично поставить сравнение событий. Если событие В происходит всегда, когда произошло событие А, то говорят что из А следует В и обозначают символом АÌВ.

Например, если при бросании кубика А=”выпала цифра 2’’ и В=”выпало четное число”, то АÌВ. Однако в данной ситуации очевидно из В не следует А, т.е. ВËА. Таким образом все случайные события относительно друг друга находятся в отношении следствия с ответом “да” или “нет”.

Теперь можно сформулировать условие равенства событий.

События А и В называются равными, если из А следует В и наоборот, т.е. АÌВ и ВÌА Û А=В. Например, если при бросании кубика А=”выпало четное число”, а В=”выпало или 2 или 4 или 6”, то А=В.

Суммой двух событий называется событие А+В, которое состоит в том, что произошло событие или А или В или оба одновременно. Здесь “одновременно” не просто слово, а термин, понимаемый не буквально как реализация событий физически в один момент времени, а в смысле “вместе”. В этом определении “или” имеет не исключающий характер, поскольку допускает совместное возникновение событий. Если в эксперименте со стрельбой =”попасть в мишень в первом выстреле”, а =”попасть в мишень во втором выстреле”, то + =”попасть или в первом выстреле или во втором выстреле или попасть одновременно в первом и втором выстреле, т.е. дважды”. Здесь рассматривается одновременное (в смысле вместе) попадание в двух выстрелах, хотя одновременно произвести два выстрела из одного и того же оружия физически невозможно. Смысловое содержание суммы событий в данном случае может быть раскрыто так: “ в серии из двух выстрелов попасть хотя бы один раз”.

Из определения суммы событий следует, что она обладает свойствами коммутативности (перестановочности слагаемых)

А+В=В+А

и ассоциативности (возможности изменения порядка суммирования)

А+(В+С)=(А+В)+С.

Очевидно, что АÌА+В "В, а также А+А=А. Последний результат свидетельствует о принципиальном отличии алгебры событий от привычной алгебры чисел.

Упражнение. При бросании кубика представить случайное событие А=”выпало четное число” в виде суммы событий его составляющих, введя соответствующие обозначения.

В соответствии содержанием операции произведения событий

АА=А.

Умножение событий коммутативно (сомножители можно менять местами)

АВ= ВА,

ассоциативно (сомножители можно группировать в указанном порядке)

А(ВС)=(АВ)С

и дистрибутивно (можно раскрывать скобки и выносить общий множитель за скобки)

А(В+С)=АВ+АС.

Скобки, как и обычно, устанавливают приоритет операций.

Рассмотренныеоперации над событиямив частностиимеют своими следствиями: АÉ АВÌВ,А+АВ=А при любом В как сумма события фактически с самим собой, в чем нетрудно убедиться с помощью кругов Эйлера. Особенности алгебры событий проявляются в таком примере

(А+В)(А+С)=АА+АС+ВА+ВС=(А+АВ)+АС+ВС=А+АС+ВС=(А+АС)+ВС=А+ВС.

Упражнение. Доказать полученный результат непосредственно с помощью кругов Эйлера для всех трех событий А, В и С.

Поиск по сайту: