|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Необходимое условие экстремумаЛекция 22. Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. В предыдущих лекциях использовались известные из курса элементарной математики понятия возрастающей и убывающей функций. Определим их еще раз. Определение 22.1. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на [ ab ], если таких, что x1 < x2, f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)). Теорема 22.1. Если функция f(x), дифференцируемая на [ ab ], возрастает на этом отрезке, то на [ ab ]. Если f(x) непрерывна на [ ab ] и дифференцируема на (ab), причем для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ ab ]. Доказательство. 1. Пусть f(x) возрастает на [ ab ]. Тогда при то есть Если же поэтому Следовательно, в обоих случаях Значит, что и требовалось доказать.
Но по условию поэтому f(x2) > f(x1), следовательно, f(x) – возрастающая функция. Замечание 1. Аналогичную теорему можно доказать и для убывающей функции: Если f(x) убывает на [ ab ], то на [ ab ]. Если на (ab), то f(x) убывает на [ ab ]. Замечание 2. Геометрический смысл доказанной теоремы: если функция возрастает на отрезке [ ab ], то касательная к ее графику во всех точках на этом отрезке образует с осью Ох острый угол (или горизонтальна). Если же функция убывает на рассматриваемом отрезке, то касательная к графику этой функции образует с осью Ох тупой угол (или в некоторых точках параллельна оси Ох). Необходимое условие экстремума. В лекции 19 было дано определение максимума и минимума функции. Теорема 22.2 (необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х0. Если х0 является точкой экстремума функции, то или не существует. Доказательство. Действительно, производная в точке х0 либо существует, либо нет. Если она существует, то по теореме Ферма она равна нулю. Примеры.
Замечание. Отметим еще раз, что теорема 22.2 дает необходимое, но не достаточное условие экстремума, то есть не во всех точках, в которых f ′(x) = 0, функция достигает экстремума. Пример. У функции y = x ³ y ′ = 3 x 2 = 0 при х = 0, однако функция монотонно возрастает во всей области определения. Определение 22.2. Если функция определена в некоторой окрестности точки х0 и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка х0 называется критической точкой функции. Теорема 22.1 означает, что все точки экстремума находятся в множестве критических точек функции. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |