АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Нормальное или Гауссово распределение

Читайте также:
  1. III. Распределение часов курса по темам и видам работ
  2. А) функциональным распределением
  3. Барометрическая формула. Распределение Больцмана
  4. Биномиальное распределение.
  5. ВОДОСБОР И ВОДОРАСПРЕДЕЛЕНИЕ
  6. Геометрическое распределение
  7. Гипергеометрическое распределение
  8. Как происходит перераспределение моментов?
  9. Лесная биомасса и ее вертикальное распределение
  10. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
  11. Нормальное распределение и его свойства.

На рис. 3 а в виде диаграммы показано распределение результатов n измерений некоторой физической величины x относительно среднего значения . Ось абцисс разбита на равные интервалы шириной d x. Высота каждого столбика диаграммы показывает количество N (x) близких результатов измерений, попадающих в интервал d x с центром в точке x. Пунктирная кривая (которая здесь не является симметричной) вычерчена, чтобы показать зависимость числа отсчетов N (x) от x при относительно небольшом числе измерений.

Рис. 3.

Если число измерений n становится очень большим, то результаты измерений стремятся к симметричному распределению около среднего значения (рис. 3 б). Как показывается в теории вероятности, в идеальном случае такая кривая описывается аналитическим выражением

, (4)

где n - очень большое число измерений, - среднее значение, а s - стандартное отклонение, определяемое по формуле (2) при условии n ® ¥. Величина s2 называется дисперсией. Уравнение (4) представляет собой распределение Гаусса или нормальное распределение.

Для большого числа измерений n распределение Гаусса описывает теоретическое распределение измеренных значений x относительно среднего значения . Если измерения выполняются с высокой точностью, то s будет малым, и нормальное, или Гауссово, распределение будет иметь острый пик при x = (рис. 4).

Рис. 4.

Разделив обе части уравнения (4) на n и определив N (x)/ n как Р (x), имеем:

. (5)

Выражение (5) имеет смысл плотности вероятности того, что в результате измерения мы получим значение х. Таким образом, вероятность того, что измеренное значение x будет лежать в некотором интервале x 1 < x < x 2, определяется площадью под соответствующим участком кривой:

.

Заметим, что наиболее вероятным значением, которое можно ожидать в результате измерения, является среднее значение. Следует также отметить, что полная площадь под кривой, представляющей функцию P (x), всегда равна единице:

.

Особенностью распределения Гаусса является то, что 68% всех результатов измерений попадают в интервал от до , 95% всех результатов измерений попадают в интервал от до , а 99,7% всех результатов измерений попадают в интервал от до . Другими словами, с вероятностью 0,68 истинное значение величины x лежит в интервале , с вероятностью 0,95 – в интервале , и т.д.

Следует иметь в виду, что распределение Гаусса не является единственно возможным. Могут существовать и другие виды распределений, например, распределение Пуассона, экспоненциальное распределение, c2-распределение и т.д. Тем не менее, нормальное распределение встречается достаточно часто, причём все остальные распределения в пределе (при n ® ¥) переходят в распределение Гаусса.

На практике, однако, число измерений обычно сравнительно невелико. В этом случае для повышения достоверности результатов измерений следует при оценке погрешности пользоваться модифицированными формулами. Так, абсолютная погрешность D x измеряемой величины x при относительно малом (скажем, менее 10) количестве измерений определяется как:

, (6)

где t a, n – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и от величины доверительной вероятности a. Значения коэффициентов t a, n для некоторых различных значений n и a приведены в табл. 1.

В соответствии с действующими государственными стандартами рекомендуется при оценке погрешностей пользоваться доверительной вероятностью a = 0,95.

Таблица 1.

n a 0,90 0,95 0,98
  6,31 12,71 31,82
  2,92 4,30 6,96
  2,35 3,18 4,54
  2,13 2,78 3,75
  2,02 2,57 3,36
  1,94 2,45 3,14
  1,90 2,36 3,00
  1,86 2,31 2,90
  1,83 2,26 2,82

Таким образом, окончательный результат измерений запишется в виде:

, (a), (7)

где D x определяется из выражения (6). Запись (7) означает, что истинное значение величины x с вероятностью a находится в интервале значений от до .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)