АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Читайте также:
  1. I .Характер действия лекарственных веществ 25 мин.
  2. I. Выражение обязательности действия, совета
  3. I. Действия водителей на месте ДТП
  4. I. Назначение, классификация, устройство и принцип действия машины.
  5. II. Классификация С/А в зависимости от способности всасываться в кровь и длительности действия.
  6. IV. Срок действия, порядок заключения и изменения договора обязательного страхования
  7. V. Ориентировочная основа действия
  8. VI. Досрочное прекращение действия договора
  9. VII. Действия лиц при наступлении страхового случая
  10. А) одна из форм социального взаимодействия, отличающаяся его длительностью, устойчивостью, системностью и самовозобновляемостью, широтой социальных связей
  11. А) осваивать и выполнять сложные двигательные действия, быстро их перестраивать в соответствии с изменяющимися условиями
  12. Авидон И. Ю., Гончукова О. П. Тренинги взаимодействия в конфликте. Материалы для подготовки и проведения. 2008, СПб, Речь, 192 с. (артикул 6058)

Определение 1: суммой нескольких событий называется событие состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Причем, если А и В совместные события, то их сумма А + В означает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если же А и В – несовместные события, то их сумма А + В означает наступление или события А или события В.

Определение 2: произведением нескольких событий называется событие состоящее в совместном наступлении этих событий.

Определение 3: разностью АВ двух событий А и В называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет.

Пример: Победитель соревнования награждается призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Событие АВС – награждение победителя одновременно и призом и премией без выдачи медали.

Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей.

Теорема 1 (теорема сложения вероятностей для несовместных событий): вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р (А + В) = Р (А)+ Р (В) (5)
Аналогично для суммы нескольких попарно несовместных событий:

Р (А 1+ А 2+…+ Аn) = Р (А 1)+ Р (А 2)+..+ Р (Аn) (6)
Следствие 1: Сумма вероятностей событий образующих полную группу равна 1.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е.

Р (А) + Р (Ā)=1 (7)

 

Теорема 2 (теорема сложения вероятностей для совместных событий): вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления

Р (А + В) = Р (А)+ Р (В) – Р (А∙В) (8)
Как отмечалось выше, вероятность Р (А) как мера степени объективной возможности наступления события А имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий (условия испытания, опыта). При изменении условий (например, если к условиям добавить событие В) вероятность события А может измениться.

Определение 1: Вероятность события А, найденная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А. Обозначается РВ (А) (или Р (А/В)).

Теорема 3 (теорема умножения вероятностей): вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже произошло

Р (А∙В) = Р (А) ∙РА (В) = Р (В) ∙РВ (А) (9)
Эта теорема обобщается на любое конечное число событий: вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли:

Р (А∙В∙С∙∙K∙L)= Р (А) ∙РА (В) ∙РАВ (С) ∙РАВCK (L) (10)
В случае, рассматриваемом выше, вероятность события А менялась при добавлении к комплексу условий события В. Если этого не происходит, то события А и В называются независимыми.

Определение 2: Событие А называется независимым от события В, если вероятность события а не зависит от того, произошло событие В или нет, т.е. РВ (А) = Р (А).

Пример: поражение цели двумя стрелками – независимые события.

Для независимых событий теорема умножения вероятностей для двух и нескольких событий примет вид:

Р (А∙В) = Р (А) ∙Р (В) (11)
Р (А∙В∙С∙∙K∙L)= Р (А) ∙Р (В) ∙Р (С) ∙ Р (L) (12)

 

Пример: В двух ящиках находятся белые и черные шары, причем в первом ящике 30% белых шаров, а во втором 60% белых шаров. Наудачу из каждого ящика вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что среди них: а) два черных шара; б) один белый и один черный шар; в) хотя бы один черный шар.

Решение:

Рассмотрим события А 1 и А 2, состоящие в том, что из первого и второго ящика соответственно извлечен белый шар, тогда противоположные им события Ā 1 и Ā 2 заключаются в извлечении черного шара из первого и второго ящика соответственно.

По условию Р (А 1) = 0,3 и Р (А 2) = 0,6, тогда Р (Ā 1) = 1–0,3 =0,7, Р (Ā 2) = 1–0,6 =0,4.

а) Событие В – извлекли два черных шара

Событие В состоит в совместном наступлении событий Ā 1 и Ā 2, т.е. В = Ā 1Ā 2

Учитывая, что события Ā 1 и Ā 2 – независимые, по теореме умножения вероятностей для независимых событий, получим

Р (В) = Р (Ā 1 ∙ Ā 2) = Р (Ā 1) ∙Р (Ā 2) = 0,7 ∙ 0,4 = 0,28

б) Событие С – извлекли один белый и один черный шар

Событие С заключается в том, что из первого ящика извлекают белый шар, а из второго – черный, либо из первого ящика извлекают черный шар, а из второго белый. Т.о. С = А 1Ā 2 + Ā 1А 2

Учитывая, что события А 1Ā 2 и Ā 1А 2 – несовместные, то по теореме сложения вероятностей для несовместных событий, имеем

Р (С) = Р (А 1Ā 2 + Ā 1А 2) = Р (А 1Ā 2)+ Р (Ā 1А 2) = 0,3∙0,4+0,7∙0,6 = 0,54.

в) Событие D – извлекли хотя бы один черный шар

Рассмотрим событие противоположное событию D состоящее в том, что извлечены два белых шара, т.е. = А 1А 2

Р () = Р (А 1 ∙ А 2) = Р (А 1) ∙Р (А 2) = 0,3 ∙ 0,6 = 0,18

Р (D) = 1 – Р () = 1 – 0,18 = 0,82.

Ответ: Р (В) = 0,28; Р (С) = 0,54; Р (D) = 0,82.


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)