АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Критерій стійкості

Читайте также:
  1. Аналіз фінансової стійкості банку
  2. Вибір перерізу і перевірка стійкості колони
  3. Визначення ступеня вертикальної стійкості
  4. Категорія стійкості атмосфери
  5. Класифікація будівель і споруд за ступенем вогнестійкості
  6. Критерій та індикатори економічної безпеки
  7. Межі вогнестійкості конструкцій та поширення вогню по них залежно від ступеня вогнестійкості будівель
  8. Методи підвищення стійкості рослин до забруднення повітря
  9. Перевірка загальної стійкості головної балки. Перевірка стійкості поясів та стінки балки
  10. Перевірка стійкості стінки по відсіках
  11. Передпосівне підвищення жаро- і посухостійкості рослин

 

Алгебраїчними критеріями стійкості називають критерії, які визначають необхідні і дос­татні умови стійкості системи будь-якого порядку без вирішення характеристичного рівняння, але з перевіркою певних співвідношень, що складають з його коефіцієнтів. Ці критерії були знайдені і сформульовані у вигляді нерівностей Є. Раусом в 1877 р. і неза­лежно від нього в декілька іншій формі в 1885 р. А. Гурвицем.

Алгебраїчний критерій Рауса дозволяє визначити стійкість замкнутої системи високого порядку (п > 5) за коефіцієнтами характеристичного рівняння (особливо у тих випадках, якщо вони задані чисельно), що зведені до таблиці. При складені таблиці у першу строку записують коефіцієнти з парними індексами а 0, а 2, а 4,..., у другу - з непарними а 1, а 3, а 5 ..., наступні строки отримують шляхом ділення різниць перехресних добутків коефіцієнтів двох попередніх строк на коефіцієнт першого стовпця попередньої стоки.

Для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб при а 0>0 коефіцієнти першого стовп­ця таблиці були позитивні, тобто

(7.3)

Алгебраїчний критерій Гурвиця в аналітичній формі зв’язує умови стійкості системи з її параметрами і дозволяє виділити область стійкості. Критерій базується на обчислені так називаємих визначників Гурвиця за коефіцієнтами характеристичного рівняння.

Необхідною умовою стійкості системи являються позитивні значення всіх коефіцієнтів її характеристичного рівняння, тобто

а 0 > 0; а 1 > 0,..., аn > 0.

Якщо необхідна умова не виконується, то система нестійка.

В найпростіших випадках (характеристичне рівняння першого і другого порядку) ця необхідна умова являється одночасно і достатньою. При n ³ 3 (n - порядок системи) при дотриманні необхідної умови система може бути стійкою і нестійкою.

Необхідною і достатньою умовою стійкості системи при додатних значеннях всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння являються додатні значення всіх визначників, що складаються з коефіцієнтів характеристичного рівняння по схемі:

1) по головній діагоналі зліва вниз направо виписуються всі коефіцієнти рівняння, по­чи­наючи з коефіцієнта при другому члені (а 1) і закінчуючи коефіцієнтом передостаннього члена (ап -1) включно;

2) стовпчики при діагоналі вверх доповнюються коефіцієнтами з індексами, що спа­да­ють, а стовпчики при діагоналі вниз - коефіцієнтами з індексами, що підвищуються. Всі місця, які треба було заповнити коефіцієнтами нижче аn і вище а 0, замінюються нулями

 

а 1 а 3 а 5 а 7.... 0 0 0 0

а 0 а 2 а 4 а 6.... 0 0 0 0

0 а 1 а 3 а 5.... 0 0 0 0

0 а 0 а 2 а 4.... 0 0 0 0

D n = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - > 0 (7.4)

0 0 0 0 ап -4 ап -2 ап 0

0 0 0 0 ап -5 ап -3 ап -1 0

0 0 0 0 ап -6 ап -4 ап -2 ап

0 0 0 0 ап -7 ап -5 ап -3 ап -1

.

На практиці після перевірки знака всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння скла­дають визначники, починаючи з меншого, тобто D1 > 0, D2 > 0, D3 > 0 та інші. Якщо ви­явить­ся, що якийсь з визначників менше нуля, то продовжувати розрахунки наступних ви­значників не має сенсу, оскільки їх значен­ня будуть від’ємними.

Визначники обчислюють за формулами:

 

а 1 а 3 а 1 а 3 а 5

D1 = а 1; D2 = а 0 а 2 = а 1 а 2 - а 0 а 3; D3 = а 0 а 2 а 4 =

0 а 1 а 3

= [ а 3(а 1 а 2 - а 0 а 3) - а 12 а 4]

 

ПРИКЛАДИ. 1. Перевірити за критерієм Рауса-Гурвиця стійкість АСР, характерис­тич­не рівняння якої має вигляд: р 3 + 6 р 2 + 1 = 0

Необхідна умова не виконується: коефіцієнт при р дорівнює нулю. Виходячи з цього сис­тема нестійка.

2. Перевірити по критерію Рауса-Гурвиця стійкість АСР, характеристичне рів­няння якої має вигляд: р 3 + 2,5 р 2 + 3 р + 2 = 0

Необхідна умова виконується: всі коефіцієнти додатні.

а 1 а 3

D2 = а 0 а 2 = а 1 а 2 - а 0 а 3 = 2,5×3 - 1×2 = 5,5 > 0

 

Отже, система стійка.

3. Перевірити за критерієм Рауса-Гурвиця стійкість АСР, характеристичне рів­няння якої має вигляд: р 4 + р 3 + 4 р 2 + 3 р + 2 = 0

Необхідна умова виконується: всі коефіцієнти додатні.

а 1 а 3

D2 = а 0 а 2 = а 1 а 2 - а 0 а 3 = 1× 4 – 1×3 = 1 > 0;

 

а 1 а 3 а 5

D3 = а 0 а 2 а 4 = [ а 3(а 1 а 2 - а 0 а 3) - а 12 а 4] = 3×1 - 1×2 = 1 > 0

0 а 1 а 3

Отже, система стійка.

Частотними критеріями стійкості називаються критерії стійкості, що базуються на побудові частотних характеристик і так званого годографа Михайлова.

Критерій Михайлова базується на зв’язку між характером перехідного процесу, що ви­ни­кає при порушенні рівноваги системи й амплітудою і фазою вимушених коливань (амп­літудно-частотна характеристика (АЧХ)), які встановлюються в системі під дією синусо­їдального збуджуючого діяння.

Якщо в поліномі характеристичного рівняння системи замінити величину р уявним аргументом j w, то отримаємо деяку функцію

W (j w) = а 0(j w) п + а 1(j w)n-1 +...+ ап- 1(j w) + ап = Re (w) + jQ (w), (7.5)

 

де Re (w) = ап - ап- 2w2 + ап- 4w4 -..., Q (w) = ап- 1w - ап- 3w3 + ап- 5w5 -...

Якщо змінювати величину w від - ¥ до + ¥, то кінець вектора А (j w) опише в комплекс­ній площині криву, яку називають годографом Михайлова.

А.В. Михайлов доказав, що вектор повертається на кут + np, якщо система стійка, і на кут менше + np,якщо система нестійка (n - порядок характеристичного рівняння).

Оскільки дійсна частина Re (w) є парною, а уявна частина Q (w) - непарною функцією, то годограф Михайлова симетричний відносно дійсної осі. Через це в практичних дослід­женнях розглядають зміни w або від - ¥ до 0, або від 0 до + ¥.

Для того щоб автоматична система регулювання була стійкою, необхідно і достатньо, щоб годограф Михайлова, починаючись в точці, що лежить на додатній частині дійсної осі, при зміні частоти w від 0 до + ¥ послідовно обходив проти годинникової стрілки п квад­ран­тів, повертаючись на кут n (p /2), і ніде не попадав у початок координат (не перетво­рюючись на нуль).

 

 

 

а б

Рисунок 7.3. Аналіз стійкості систем за критерієм Михайлова:

а - стійкі системи відповідно при п = 1; п = 2; п = 3; п = 4; б - порівняння стійких і нестійких систем 5 - стійка система при п = 3; 6 - нестійка система.

 

Кожному перетину годографом дійсної осі відповідає корінь рівняння Re (w) = 0, а кож­ному перетину уявної осі - корінь рівняння Q (w) = 0.

Якщо побудувати графіки функцій Re (w) і Q (w), то точки перетину цих графіків з віссями при зростанні w в стійкій системі повинні чергуватись. При w = 0 годограф перетворюється в точку, яка розміщена в додатній частині дійсної осі.

ПРИКЛАДИ. 4. Побудувати годограф Михайлова і визначити стійкість автоматичної си­с­теми регулювання, якщо характеристичне рівняння системи має вигляд: р 3 + р 2 + р + 2 = 0

Замінивши р = j w, отримаємо (j w)3 + (j w)2 + (j w) + 2 = 0

Re (w) = 2 - w2; Q (w) = w(1 - w2)

При w = 0 отримаємо Re (w) = 2; Q (w) = 0

Значення w1, при якому годограф перетинає уявну вісь, визначимо із умови

Re (w1) = 0; тобто 2 - w2 = 0; w1 = .

Знайдемо точку перетину з уявною віссю

Q (w1) = (1 - 2) = - (тобто четвертий квадрант) (рис. 7.4).

Наступні значення годографа шукати вже не має сен­су, так як видно, що критерій Ми­хайлова в частині послі­довного перетину квадрантів не дотримується.

Значення w2, при якому годограф перетинає дійсну вісь між першим і четвертим квадрантом, знайдемо, із умови: Q (w2) = 0; тобто w2 (1 - w22) = 0; w2 =1

Re (w2) = 2 - w22 = 2 - 1 = 1

Отже, система нестійка.

5. Побудувати годограф Михайлова і ви­значити стій­кість автоматичної системи регулювання, якщо характери­с­тичне рівняння системи має вигляд: р3 + р2 + р + 0,5 = 0. Замінивши р = j w, отримаємо (j w)3 + (j w)2 + (j w) + 0,5 = 0

Re (w) = 0,5 - w2; Q (w) = w(1 - w2)

При w = 0 отримаємо Re (w) = 0,5; Q (w) = 0

Значення w1, при якому годограф перетинає уявну вісь, визначимо із умови

Re (w1) = 0; тобто 0,5 - w2 = 0; w1 =

Знайдемо точку перетину з уявною віссю

Q (w1) = (1 - 0,5) = 0,35

Значення w2, при якому годограф перетинає дійсну вісь,

Q (w2) = 0, тобто 1 - w2 = 0. Тоді w2 = 1

Re (w2) = 0,5 - w22 = 0,5 - 1 = - 0,5

В інтервалі 0 < w < значення Re (w) і Q (w) більше нуля (перший квадрант), при < w < 1 значення Re (w) менше нуля, а Q (w) більше нуля (другий квадрант). При значенні w ® ¥ зрозуміло, що Re (w)® - ¥ і Q (w)® - ¥ (третій квадрант). Система стійка (рис. 7.5).

Критерій стійкості Найквіста. Американський вчений в 1932 р. стосовно до елект­ронних під­си­лювачів з від’ємним зворотним зв’язком сформулював правила, що дозво­ляють за виглядом АЧХ розімкнутої системи зробити висновок про стійкість замкнутих систем. Сенс цього полягає в тому, що порядок характеристичного рівняння розімкнутої системи завжди нижчий за порядок замкнутої системи. Узагальнення цього критерію для рішення задач автоматичного регулювання було виконано А.В. Михайловим.

Передаточна функція деякої розімкнутої системи при заміні р на j w перетворюється в вираз для амплітудно-фазової характеристики

W (j w) = Q (jw) / Р p(j w) (7.6)

де Р p - характеристичне рівняння розімкнутої системи.

Припустимо, що розімкнута система стійка, отже, згідно теореми Ляпунова, всі корені характеристичного рівняння знаходяться в лівій напівплощині, а нульових і уявних коренів немає.

Побудуємо для цієї системи на комплексній площині годограф Михайлова, крива Р p(jw) (рис. 7.6). Для замкнутої системи

(7.7)

де Р (j w) = Р p(j w) + Q (j w), звідки Q (j w) = Р (j w) - Р p(j w).

Характеристичне рівняння замкнутої системи визна­ча­ється величиною Р (j w). Стійка в розімкнутому стані сис­тема може виявитись нестійкою в замкнутому стані. При­пустимо, що система, яку ми розглядаємо знаходиться на межі стійкості і годограф Михайлова Р (j w) проходить че­рез початок координат при деякій частоті w k. Отже, в цій системі існують незатухаючі коливання з частотою w k.

Так як вектор Q (j w) можна визначити, як різницю век­торів Р (j w) і Р p(j w), знайдемо вектор ВС, який є полі­но­мом Q (j wк), тобто чисельником АФХ розімкнутої системи (точ­ки В і С відповідають час­тоті w k).

Знайдемо на годографі Р p(j w) точку А, що відповідає частоті w k, при якій годограф Р (j w) замкнутої системи проходить через початок координат, тобто Р (j w) = 0. Тоді Q (j w) = - Р p(j wk). Виходячи з цього АФХ розімкнутої системи, для якої вказані вектори являються знаменником і чисельником, перетворюються в одиницю зі знаком мінус при частоті w k.

Звідси можемо зробити висновок про те, що якщо система в замкнутому стані знахо­диться на межі стійкості, то АФХ розімкнутої системи проходить через точку з коорди­на­тами (-1; j 0) на дійсній вісі.

Якщо система в замкнутому стані нестійка Р (j w) > 0, Q (j w k) > Р p(j wk) і W (j w)>1.

На основі викладеного критерій стійкості Найквіста можна сформулювати наступним чином: якщо розімкнута система стійка, то для стійкості цієї системи в замкнутому стані необхідно і достатньо, щоб амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи не охоп­лювала точку на дійсній осі з координатами (-1; j 0).

Якщо розімкнута система нестійка і характеристичне рівняння має k коренів в правій півплощині (додатних), то для стійкості цієї системи в замкнутому стані необхідно і дос­татньо, щоб АФХ розімкнутої системи, що описується кінцем вектором 1 + W (j w), при збіль­шенні частоти від 0 до ¥ обходила критичну точку (-1; j 0) проти годинникової стрілки (в по­зитивному напрямку) k /2 разів. Так система рис. 7.7 буде стійка при k = 2.

Або в формулюванні Я.З. Ципкіна: якщо розімк­ну­та система нестійка і її характеристичне рівняння має k коренів в правій півплощині, то для стійкості системи в замкнутому стані необхідно і достатньо, щоб число по­зитивних переходів (зверху вниз) було більше числа від’ємних переходів АФХ розім­кнутої системи через відрізок дійсної вісі (-1; -¥) на k /2 раз при підвищенні частоти від 0 до ¥. Початок АФХ в згаданому діапазо­ні рахується за половину пере­ходу.

ПрикладИ. 6. Визначити стійкість замкнутої ав­томатичної системи регулювання, розімкнута частина якої описується ха­рак­теристичним рівнян­ням: р 3 + 2 р 2 + 3 р + 2 = 0.

Замінивши р = j w, отримаємо (j w)3 + 2(j w)2 + 3(j w) + 2 = 0. Звідси Re (w) = 2 - 2w2; Q (w) = w(3 - w2).

Тоді при w = 0 значення Re (w) = 2; Q (w) = 0

Значення w1, при якому годограф перетинає уявну вісь, визначимо із умови

Re (w1) = 0; тобто 2 - 2w2 = 0; w1 = 1.

Знайдемо точку перетину з уявною віссю

Q (w1) = 1(3 - 1) = 2

Значення w2, при якому годограф перетинає дійсну вісь

Q (w2) = 0, тобто 3 - w2 = 0. Тоді w2 =

Re (w2) = 2 - 2w22 = 2 - 6 = - 4

В інтервалі 0 < w < 1 значення Re (w) і Q (w) більше нуля (перший квадрант), при 1 < w < значення Re (w) менше нуля, а Q (w) більше нуля (другий квад­рант). При значенні w ® ¥ зрозуміло, що Re (w)® - ¥ і Q (w)® - ¥ (третій квадрант). Розімкнута система стійка (рис. 7.6). Замкнута система нестійка, бо охоп­лює точку з коор­ди­натами (-1; j 0).

7. Визначити стійкість замкнутої автоматичної системи регулювання, що представлена на рис. 7.9.

Характеристичне рівняння розімкнутої системи (р - 1) = 0 має один корінь в правій півплощині (k =1), тобто розімкнута система нестійка.

Побудуємо АФХ замкнутої системи.

W p(р) = 2,2/(р - 1); W (j w) = Re (w) + + jQ (w) = 2,2/(j w - 1).

, .

При w = 0: Re (w) = - 2,2; Q (w) = 0. При w > 0 Re (w) < 0 і Q (w) < 0 (третій квадрант). При w ® ¥ Re (w) ® 0; Q (w) ® 0. АФХ розімкнутої системи почи­нається на відрізку (-1; -¥) дійсної вісі (початкову точ­­ку у цьому випадку приймають за половину пере­хо­ду) і охоплює критич­ну точку (-1; j 0) в позитив­ному на­пря­м­ку при підвищенні w від 0 до ¥ 1/2 разів (рис. 7.10). Так як розімкнута система має один додат­ний корінь замкнута система стійка.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.)