АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Основные операции над тензорами

Читайте также:
  1. A) это основные или ведущие начала процесса формирования развития и функционирования права
  2. C. Число элементов в операции
  3. I. Основные характеристики и проблемы философской методологии.
  4. II. Операции за февраль руб.
  5. II. Основные задачи и функции Отдела по делам молодежи
  6. II. Основные принципы и правила поведения студентов ВСФ РАП.
  7. II.Хозяйственные операции за июнь 200_ г. руб.
  8. III. Основные требования к одежде и внешнему виду учащихся
  9. III. Основные требования по нормоконтролю
  10. V. Операции в пользу мира в информационный век
  11. WWW и Интернет. Основные сведения об интернете. Сервисы интернета.
  12. А) основные

Выше уже были введены операции сложения тензоров и умножения тензора второго ранга на число. Введем еще ряд операций. Мы дадим не совсем строгие определения, а только необходимый минимум для понимания происходящего на примере диад.

Внутреннее умножение тензоров второго ранга

Двум тензорам второго ранга A = ab и B = cd поставим в соответствие тензор C по правилу

C = A · B = (ab)·(cd) = (b · c) ad. (8)

Внутреннее умножение не коммутативно A · BB · A, т.к.

B · A = (cd)·(ab) = (d · a) cb. (9)

Внутреннее умножение ассоциативно

(A · BC = A ·(B · C) = A · B · C  

и дистрибутивно

(A + B)·(C + D) = A · C + A · D + B · C + B · D.  

Двойное внутреннее умножение тензоров второго ранга

Двум тензорам второго ранга A = ab и B = cd поставим в соответствие число α по правилу

α = A ·· B = (ab)··(cd) = (b · c)(a · d). (10)

Двойное внутреннее умножение коммутативно

A ·· B = B ·· A  

 

и дистрибутивно

(A + B)··(C + D) = A ·· C + A ·· D + B ·· C + B ·· D.  

Транспонирование тензора

Тензору A = ab поставим в соответствие тензор, построенный по правилу

AT = (ab) T = ba. (11)

Скалярное произведение тензоров

Двум тензорам второго ранга A = ab и B = cd поставим в соответствие число α по правилу

α(A, B) = A ·· BT = (ab)··(cd) T = (b · d)(a · c). (12)

Важное свойство скалярного произведения, отличающее его от двойного внутреннего

A ·· AT = 0 => A = 0. (13)

Скалярное произведение коммутативно α(A, B) = α(B, A) = B ·· A T.

Скалярное умножение тензора на вектор справа (слева)

Поставив тензору A = ab и вектору c вектор по правилу

A · c = a (b · c) = ab · c, (14)

мы получим произведение тензора на вектор справа. Если же используется правило

c · A = (c · a) b = c · ab, (15)

то говорят, что задано произведение на вектор слева.

Важно:

A · cc · A,  
A · c = c · AT.  

Определение: тензор второго ранга 1 называется единичным, если для любого вектора x справедливо равенство

x · 1 = 1 · x = x, (16)

Для любого тензора A справедливо тождество

A · 1 = 1 · A = A.  

Векторное умножение тензора на вектор справа (слева)

Аналогично скалярному вводятся векторные произведения справа и слева

A × c=a (b × c) = ab × c, (17)
c × A= (c × a) b = c × ab, (18)

результатом является тензор второго ранга.

Полезные тождества

A × c = – [ c × AT ] T,  
a × 1 × b = ba – (b · a) 1.  

След тензора второго ранга

Пусть тензор A есть совокупность диад

A = ab + … + cd (19)

Следом тензора («tr» от trace, «Sp» от Spur – иногда можно встретить в немецкоязычной литературе) называется число, вычисляемое по правилу

tr A = Sp A = a · b + … + c · d. (20)

Справедливы тождества tr A = tr A T, tr(A · B) = tr(B · A) = A ·· B, tr(A · B) = tr(A T · B T).

8. Векторный инвариант тензора второго ранга

Пусть тензор A есть совокупность диад

A = ab + … + cd. (21)

Векторным инвариантом тензора называется вектор, вычисляемый по правилу

A × = a × b + … + c × d. (22)

Полезное тождество (a × 1)× = –2 a.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)