Пример. Теорема( признак сравнения)

Теорема (признак сравнения).

Пусть и - два знакоположительных ряда.

Если при выполнено неравенство ,то

1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Следствие 1. Если и ,

то из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Следствие 2. Если и , то

1) при 0 < k < + ¥ () ряды и сходятся или расходятся одновременно.

В частности, если , т е. ,

то знакоположительные ряды и сходятся или

расходятся одновременно.

2) при k = 0 (,)

из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

3) при k = +¥ из расходимости ряда следует

расходимость ряда .

Следствие 3. Если , то

1) при p > 1 ряд сходится;

2) при p £ 1 ряд расходится.

Теорема (обобщённый признак сравнения).

Пусть и - два знакоположительных ряда.

Если при всех выполнено неравенство , то

1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Теорема (признак Даламбера) (Жан Лерон Даламбер (1717 -1783) – французский математик и механик).

Дан ряд , при всех :

1) если найдётся такой номер , что при всех имеет место неравенство:

, то ряд сходится;

2) если при всех имеет место неравенство:

, то ряд расходится;

3) если , то при ряд сходится;

если , то при ряд расходится.

На практике, в основном, применяется более слабое условие:

Дан ряд , при всех и если

, тогда

Теорема (радикальный признак Коши) (Огюстен Луи Коши (1789 -1857)–французский математик и механик).

Дан ряд , при всех :

1) если найдётся такой номер , что при всех имеет место неравенство:

, то ряд сходится;

2) если при всех имеет место неравенство:

, то ряд расходится;

3) если , то при ряд сходится.

На практике, в основном, применяется более слабое условие:

дан ряд , и если

, тогда

Теорема (интегральный признак Коши).

Если неотрицательная, невозрастающая, непрерывная функция, то ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

Теорема (признак Раабе) (Иозеф (Жозеф) Раабе (1801-1859) – швейцарский математик).

Дан ряд , при всех :

1) если существует число и найдётся такой номер , что при всех имеет место неравенство:

, то ряд сходится;

2) если при всех имеет место неравенство:

, то ряд расходится;

3) если

, тогда

Теорема (признак Куммера) (Эрнст Эдуард Куммер (1810 - 1893) – немецкий математик).

Пусть и две последовательности положительных чисел.

Если существует положительное число и найдётся такой номер , что при всех имеет место неравенство:

, то ряд сходится;

2) если при всех имеет место неравенство:

и ряд расходится, то ряд также расходится.

Следствие 1. (признак Даламбера).

Следствие 2. (признак Раабе).

Следствие 3 (признак Бертрана) (Жозеф Луи Франсуа Бертран (1822-1900) – французский математик).

Ряд ( при всех ) сходится, если существует положительное число и найдётся такой номер , что при всех имеет место неравенство:

.

Ряд расходится, если при всех достаточно больших имеет место неравенство:

Теорема (признак Гаусса) (Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) немецкий математик).

Дан ряд , при всех , ε > 0 – некоторая постоянная и

,

то

1) ряд сходится при λ > 1 и расходится λ < 1;

2) если λ = 1, то ряд сходится при μ > 1 и расходится μ < 1.

Поиск по сайту: