Определение группы

КУРСОВАЯ РАБОТА

Выполнил:

студент 3 курса

очной формы обучения

Королёв Никита Вячеславович

Руководитель: доц. Мещеряков В. В.

Итоговая оценка - ___________________

Подпись____________________________

Коломна – 2014 г

План

Введение

Глава 1. Понятие группы

§1. Определение группы

§2. Разновидности групп

§3 Действие группы на множестве

§4 Группы симметрий

Глава 2. Лемма Бернсайда о количестве орбит

§1 Формулировка и доказательство

§2. Задачи о раскрасках

Заключение

Литература

Введение

Правильные многогранники известны человечеству с давних времен. Так, например, недавно в Шотландии при раскопках были обнаружены камни, ограненные в виде всех пяти правильных многогранников. Эти находки относят ко второму тысячелетию до нашей эры.

Первое письменное упоминание о правильных многогранниках принадлежит грекам. Пифагорейцам были известны тетраэдр, куб и октаэдр. Описание додекаэдра и икосаэдра приписывается Теэтету Афинскому (начало IV в. до н.э.); он же доказал, что других правильных многогранников не существует.

Самый термин «группа» принадлежит французскому мате­матику Галуа — подлинному создателю теории групп. Идеи теории групп «носились» в воздухе задолго до Галуа, и некоторые из ее теорем в наивной форме были доказаны еще Лагранжем. Гениальные работы Галуа оказались непонятыми, и возрождение интереса к ним началось только после книги Жордана «Курс теории перестановок и алгеб­раических уравнений» (1870г.).

Группы симметрии многогранников изучались многими математиками и кристаллографами. После того, как Лежандр (1833) впервые ввёл математическое понятие симметрии в геометрию, Р.-Ж. Гаюи применил это понятие в кристаллографии. В дальнейшем изучение возможных видов симметрии многогранников было продолжено И.Ф.Х. Гесселем и О.Браве.

Глава 1. Понятие группы

Определение группы

Рассмотрим множе­ство G всех n × n-матриц с вещественными ко­эффициентами и с отличным от нуля определителем. . Видно, что А, B далее, (АВ) C = А (ВC) и суще­ствует выделенная матрица Е такая, что АЕ = = ЕА = А для всех А . Кроме того, у каж­дой матрицы А имеется «антипод» — об­ратная матрица , для которой А = А = Е.

Множество G рассматриваемое вместе с за­коном композиции (бинарной операцией) (А, В) и называемое полной линейной группой сте­пени n над R, можно было бы коротко определить, как подмоноид всех обра­тимых элементов моноида .

Пусть Х – произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией на Х называется произвольное (но фиксированное) отображение декартова квадрата Чаще всего бинарную операцию на Х обозначают каким-нибудь специальным символом:

Бинарная операция на множестве Х называется ассоциативной, если

Множество Х с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппу с единичным (нейтральным) элементом принято называть ещё моноидом.

Как и для всякого множества, мощность моноида М=(М, ) обозначается символом Card M или .

Подмножество полугруппы S с операцией называется подполугруппой, если х для всех x, у . В этом случае говорят ещё, что подмножество S замкнуто относительно операции (М, ) – моноид, а подмножество не только замкнуто относительно операции , но и содержит единичный элемент, то

Определение. Моноид G, все элементы кото­рого обратимы, называется группой. Другими сло­вами, предполагаются выполненными следующие ак­сиомы:

(G0) на множестве G определена бинарная опе­рация: (х,у) ху

(G1) операция ассоциативна: (ху)z = х(уz) для всех х, у, z G;

(G2) G обладает нейтральным (единичным) эле­ментом е: хе = ех = х для всех x G

(G3) для каждого элемента x G существует об­ратный

Поиск по сайту: