АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Кільця головних ідеалів та евклідові кільця

Читайте также:
  1. Етап — аналіз центральних образів і головних проблем з погляду історичної перспективи
  2. Загальна характеристика головних напрямків політичних і правових вчень ХХ ст.
  3. Означення ідеалу кільця, приклади ідеалів.
  4. Основи таксономічного визначення безхребетних – польовий визначник головних макротаксонів
  5. Особливості розміщення і оцінки мінеральних ресурсів у світі, ресурсозабезпеченість головних світових регіонів.
  6. РОЗДІЛ ІІ. КІЛЬЦЯ ТА ІДЕАЛИ.
  7. Фактор-кільця і гомоморфізми.
  8. Які три головних компоненти виділяють у структурі темпераменту?

Означення. Область цілісності з , кожен ідеал якої є головним називається кільцем головних ідеалів.

Приклад. Кільце цілих чисел є кільцем головних ідеалів. Дійсно, нехай — довільний ідеал кільця . Якщо то . Тому вважатимемо, що . Тоді .

Внаслідок того, що — підкільце, то . Це означає, в кожному ідеалі є натуральне число. Нехай – найменше з усіх натуральних чисел ідеалу . За теоремою про ділення з остачею

Згідно з другою умовою з означення ідеалу , а згідно з першою . Це означає, що коли було б то в існувало б натуральне число , менше за .Тому і, отже, . Таким чином,

: ,

тобто ідеал – головний, .

Означення. Область цілісності з називається евклідовим кільцем, якщо всякому її елементу поставлено у відповідність натуральне число так, що

причому

Приклад. Кільце цілих чисел є евклідовим кільцем.

Справді, за теоремою про ділення з остачею

(1)

якщо то і значить,

, .

Останні співвідношення можна переписати так:

(2)

Із формул (1) і (2) виходить:

Це означає, що коли кожному ненульовому цілому числу поставити у відповідність його абсолютну величину, тобто покласти , то кільце стає евклідовим кільцем.

Теорема 2. Всяке евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

Доведення. Треба довести, що всякий ідеал є головним, якщо , то — головний ідеал, породжений нулем. Якщо , то кожному його ненулевому елементові а поставлено у відповідність натуральне число , тобто ідеал співвіднесений з підмножиною множини натуральних чисел. В є найменше число . Інакше кажучи, в існує елемент такий, що

Очевидно, що . Покажемо: що і навпаки , звідси випливатиме потрібна рівність .

За означенням евклідового кільця

На підставі другої умови з означення ідеалу , а на підставі першої – елемент . Якби , то , що суперечить вибору елемента . Тому і, значить, , тобто, . Теорема доведена.

Подільність в областях цілісності з одиницею.

На області цілісності з одиницею вдається розповсюдити багато відомих ефектів теорії подільності в кільці цілих чисел.

Нехай - область цілісності з 1. Говорять, що елемент ділиться на елемент , , якщо

Елемент називають дільником і записують . Якщо то елементи а, b K називаються дільниками 1кільця K. З рівності виходить, що і взаємно обернені. Отже, кожен дільник одиниці має обернений елемент. Навпаки, якщо для елемента існує обернений елемент , та і, значить, - дільник одиниці. В множині цілих чисел дільниками 1 є числа 1 і -1: =(-1) (-1)=1.

Зауважимо, що сукупність усіх дільників 1 утворює мультиплікативну групу. Цю групу дільників називають мультиплікативною групою кільця К.

Справді, якщо і деякі дільники 1,то(, ): = =1 Тоді

()()=() ()=1*1=1 тобто, - дільник 1.

Виконання аксіом групи очевидне. Відзначимо, що всякий дільник одиниці є дільником довільного елемента а К, бо

а = а 1=а( = )

Елементи а, b К називається асоційовними, якщо а є дільником b і b – дільником а, тобто, якщо

З цих рівностей виходить, що а = а(dc) і. Значить dc=1, тобто d і c –дільники 1. Таким чином, асоційовні елементи відрізняються тільки дільниками 1.

Елементи а ≠ 0 і з кільця К називається незвідним, якщо він не є дільником 1, і якщо із рівності а = bc(b,c К) випливає, що b або с – дільники 1. Як бачимо, незвідний елемент, дільниками якого, попри дільників 1,є тільки елементи, асоційовні з ним. В кільці цілих чисел дільниками 1 є тільки 1,–1, тому незвідні елементи — це числа, що діляться тільки на себе і на , тобто, це прості числа і ті від’ємні, абсолютні величини яких прості.

Елемент d К називається найбільшим спільним дільником елементів а,b К, d=(a,d), якщо

1. a d, b d

2. : (

Теорема 1. Для всяких одночасно не рівних нулю елементів а, b із кільця К головних ідеалів існує їх найбільший спільний дільник d К, який належить ідеалу, породженому елементами а і b, тобто,

, К: d=а +b

Доведення. Розглянемо ідеал І = { ax+by| x, y К } породжений елементами а i b. Оскільки кожен ідеал в К є головним, то існує елемент d І такий, що І=(d). Породжуючий елемент d цього ідеалу І є дільником всякого його елемента.

Відзначимо, що найбільший спільний дільник елементів a, b Î K визначається неоднозначно: якщо d=(a,b), то ed=(a,b), де e – довільний дільник одиниці.

Теорема 2. Якщо р – незвідний елемент кільця головних ідеалів К і елементів a, b ÎK є таким, що р/ab, то р/а або р/b.

Доведення. Нехай р не є дільником а, і нехай d=(a, р). Покажемо, що d – дільник 1. Справді, якщо d не був дільником 1, то внаслідок незвідності елемента р подільності р d ми мали б: р=ed,

де e - деякий дільник 1.Тоді d =р e-1 і, в силу подільності а d, а= р(e-1, с)(сÎK), що суперечить припущенню а р. Отже, d – дільник 1. d=e.

Оскільки e=(a, р), то за теоремою 1

($ x0, y0 Î K): e = ax0+р y0

Помножимо цю рівність на b, матимемо

eq=(ab)x0+р(y0b).

Оскільки за умовою ab і р, то обидва доданки правої частини діляться на р і, значить, eb і р, тобто $ qÎK: eb= pq або інакше b= р(e-1q), що означає b р.

Таким чином, якщо ab р і один з співмножників не ділиться на р, то другий обов’язково ділиться на р.

Елементи р12,…,рn такі, що

а=eр1р2…рn /2/

причому в двох таких розкладах

а=eр1р2…рn а=e’q1q2…q3

r= 1 та існуютьтакі дільники одиниці e1e2…e r,що можливо після перестановки індексів, рі=eіqі (і=1,2,…, r).

Лема 1. В кльці К головних ідеалів не існує нескінченного строго зростаючого ланцюжка ідеалів.

(а 1)Ì(а2)Ì…Ì(аn)Ì… /3/

Доведення. Нехай ми маємо деяку строго зростаючий ланцюжок ідеалів (3) і І= -обєднання всіх ідеалів цього ланцюжка.

Пересвідчимося в тому, що множина І є ідеалом.

Виконання першої умови з означення ідеалу випливає з того, що коли a, b ÎI, тобто a, b Î , то ($n, m):(а Î (аn))Ç(bÎ(аm)),

Нехай для означеності n m. Тоді (аn)<(am) і, значить, a, bÎ (аm). Оскільки (am) – ідеал, то а–bÎ(аm), внаслідок чого а-bÎ . Якщо, крім того, kÎ І

То аk Î (аn) тобто, виконується і друга умова з означення ідеалу.

Оскільки в кільці К кожен ідеал головний, то ($ c ÎI) I =(с).Породжуючий елемент с ідеалу І належить І = і, значить, в котромусь з ідеалів , c Î (а1). Тоді І =(с)Ì (а1), але і І – об’єднання всіх ідеалів і), тому 1) Ì І. Із включень І Ì (а1) і (а1) Ì І виходить, що І=(а1), це і означає, що 1) – останній ідеал ланцюжка (3), чим лема доведена.

Лема 2. Головні ідеали (a) i (b) кільця К тоді і тільки тоді співпадають коли (a) i (b)асоційовані.

Доведення. Якщо (a) =(b), то а Î (b), b Î (a), внаслідок чого $ k1, k2ÎZ: а=bk1, b= аk2, що і означає асоційованість елементів a i b.

Навпаки, нехай елементи a i b асоційовані, тобто а=be, де e - дільник І. Тоді ("а1Î (а))($k1Î К): а=аk1

Значить, а1=b(ek1), внаслідок чого а1Î (b). Звідси виходить, що (a)Ì(b). Аналогічно (b)Ì(а). Таким чином, (a) =(b).

Будемо допускати, що в роскладі (2) індекс r приймати і значення 0. Тим самим домовимося вважати, що всякий дільник І на розкладі не незвідний елемент.

Теорема 3. (Основна теорема теорії кілець головних ідеалів). Всякий не нульовий елемент кільця К головних ідеалів допускає одночасний розклад на незвідні елементи.

Доведення.

І. Доведемо спочатку, що для кожного елемента із кільця К існує розклад на незвідні елементи, тобто, що кожен елемент із К можна подати у вигляді (2)

Нехай а≠0 – довільний елемент із К. Оскільки деякий дільник І є дільником і елемента а, то а завжди можна подати у вигляді

a = bc (bc Î K) (4)

Якщо із цього подання виходить, що b або с дільники І, то а є або дільником І або незвідним елементом і подання (4) треба розглядати як розклад елемента а на незвідні елементи.

Якщо у формулі (4) b і с – не дільники І, то до них можна застосувати ті ж міркування, які були застосовані до а. В результаті одержимо

b=b1b2, с=с1с2 (b1, b2, с1, с2 Î К)

і, значить,

а=b1b2с1с2

Можливі два випадки: 1) кожен з множників b1, b2, с1, с2 є або, дільником І або незвідним елементом. 2) серед елементів b1, b2, с1, с2 принаймі один не є ні дільником І, ні незвідним елементом. В першому випадку для елемента а справедливий розклад (2), в другому – наші міркування треба застосувати до тих із елементів b1, b2, с1, с2 які не є ні дільниками І ні незвідними елементами.

Міркуючи таким способом дальше, після певного числа кроків дістанемо

а=eа1а2…аn, (5)

де e - дільник І і а12,…,аn, - не дільники І запровадимо позначення а12…аn, а22…аn, аn1’=аn.

Тоді а=(eа11а12а2аnn-1аn-1

Внаслідок чого справедливе включення

(а)Ì(а1 )Ì (а2 )Ì…Ì (аn-1), /6/

Які згідно з лемою 2 є строгими, бо породжуючі елементи цих ідеалів неасоційовані. Якщо в представленні (5) всі елементиа1, а2,…..аn– незвідні, то це означає. Що для а справедливий розклад /2/. Якщо ж декотрі із цих елементів не є незвідними, то процес міркування треба продовжити. Одначе, цей процес може бути нескінченним, тому що тоді строго зростаючий ланцюг /6/ головних ідеалів був би теж нескінченним, що на підставі леми неможливо.

Отже, процес наших міркувань скінченний і після скінченного числа кроків одержимо для елемента а розклад /2/.

ІІ. Доведемо тепер, що розклад кожного елемента а К є однозначним.

Припустимо, що деякий елемент а К має два розклади:

А= ξр1 р2… рr, а= ξ’q1q2…qj

На незвідні множники. Тоді

ξр1 р2… рr= ξ’q1q2…qj

Або інакше (ξ’)-1 ξр1 р2… рr= q1q2…qj /7/

Ліва частина цієї рівності ділиться на р1, тому і права q1q2…qr ділиться на р 1. Оскільки р1 незвідний елемент, то за теоремою 2, яку по індукції можна поширити на довільне скінченне число співмножників, котрийсь із елементів q1q2…qjділиться на р 1. Пронумерувати в разі потреби елементи q1q2…qj, доб’ємося того, що q1 і р1. Оскільки q1 і р1 – незвідні елементи, то існує дільник одиниці ξ 1 такий що, q1 = ξ1 р1

Підставивши одержаний вираз замість q1 у формулу /7/ і скоротивши на р1 (на недільники нуля скорочувати можна), матимемо

ξ1-1 (ξ’)-1 ξр1 р2… рr= q1q2…qj

ліва частина цієї рівності ділиться на р2. Тоді на р2 ділиться і права. Провівши ті ж міркування, які були застосовані вище, матимемо

q2 = ξ2р2, ξ2-1ξ1-1 (ξ’)-1 ξр3… рr= q3…qj

якби будо r>1 то після r кроків мали б

ξ2-1… ξ1-1 (ξ’)-1ξ= qr+1… qj

або інакше І = ξ-’ ξ’ ξ1… ξr qr+1… qj

ця рівність означає, що незвідні елементи qr+1… qj є дільники І, а це суперечить їх незвідності. Отже r>І. лема логічно показує, що нерівність І>r теж неможлива. Таким чином І=r і справедливі одержані в процесі доведення рівності

q1 = ξ1 р1, q2 = ξ2 р2,… qr = ξr рr. Теорема доведена.

На закінчення даної теми відзначимо, що в області цілісності з І, яка не є кільцем головних ідеалів, розклад на незвідні елементи може бути неоднозначним.

Наведемо приклад. Легко перевірити, що сукупність z () комплексних чисел виду а+b і, де a і b – довільні цілі числа, є областю цілісності з 1. Покажемо, що кожен елемент z ≠0 цього кільця має розклад на незвідні елементи, який може бути і неоднозначним.

З цією метою у відповідність кожному числу z= а+b і є z( ), поставимо ціле невід’ємне число N(z)=a2+3b2, яке назвемо нормою числа z. Елементарно показується, що

("z, z1, z2 є z( )): (z= z1× z2)ÞN (z) = (N(z1)×N(z2))

(Показати самостійно!). Зокрема, якщо 1= z1× z2 (z1, z2 є z( )), N (І) = N(z1)×N(z2). Оскільки N (1)=N (1+0 )=1, N(z1)=N(z2)=1. Якщо z1= а1+b11 , то a12+3b12=1, звідки a1=±1, b1=0. Таким чином, дільниками 1 є z( ) є тільки числа 1 і -1.

Можливість розкладу числа z є z( ), 0 доведемо методом математичної індукції по нормі

N(z) і якщо 0, то N (z)>0.

При N(z)=1, як показано вище, z±1, а за домовленістю дільники 1 мають розклади на незвідні. Припустимо, що твердження вірне для всіх чисел з нормою меншою від m, тобто припустимо, що всі числа При z, для яких N(z)<m, мають розклади на незвідні числа із z( ). Нехай z - довільне число із z( ), норма якого N(z)=m. Число z завжди можна подати у вигляді

z= z1× z2(z1, z2 є z( )) /8/.

Якщо із цього подання випливає, що z1 або z2 – дільники 1, то за означенням z – незвідний елемент і він має тривіальний розклад на незвідні множники: z=ez (e=1). Якщо ні z1 ні z2 – не дільники 1, тобто z1, z2=±1, то N(z1),N(z2)¹1 із представлення N(z) =N(z1)×N(z2) випливає, що N(z1)<m і N(z2)<m. Тоді за індуктивним припущенням z1 і z2 можна розкласти на незвідні множники. Підставивши ці розклади у формулу /8/, одержимо розклад і для елемента z.

Таким чином, кожен елемент із кільця z( ) має розклад на незвідні числа, але не для деякого числа із цього кільця цей розклад однозначний. Наприклад, число 4 є z( ) має такі розклади:

4=2×2, 4=(1+ і)(1- і). /9/

В цих розкладах числа 2, 1± і незвідні, бо їх норма дорівнює 2, а 2 не розкладається на нетривіальні множники. Тому і числа 2, 1± і не розкладаються на нетривіальні множники. Зрозуміло, що числа 2, 1+ і, 2, 1- і неасоційовані, бо 2¹(±1)(± і). Отже, розклади /9/ є різними розкладами числа 4.

§5. Конгруенції та фактор кільця за ідеалом.

1. Конгруенції комутативного кільця К за ідеалам І.

Крім алгебраїчних операцій в кільці К можуть бути введені і деякі інші відношення, зокрема, відношення еквівалентності. З алгебраїчної точки зору інтерес представляють тільки такі відношення еквівалентності, які певним способом узгодженні з операціями, означеними в кільці.

Означення. Говорять, що відношення еквівалентності a ~ b в комутативному кільці К узгоджено з алгебраїчними операціями цього кільця, якщо:

(" a, b, c, d є К):(a~b)Ù(c ~d)Þ(a + c ~ b + d)Ù(ac ~ bd)

Прикладом відношення еквівалентності, узгодженого з операціями кільця, служить відношення конгруентності за модулем ідеалу.

Означення. Говорять, що елементи a, b комутативного кільця конгруентні між собою, за ідеалом ІÌК і за модулем ідеалу І, якщо a - b І, і записується це так:

a º b(modI)

Теорема 1. Відношення конгруентності за ідеалом І кільця К відношенням еквівалентності в К, узгодженим з операціями К.

Доведення. Оскільки кожен ідеал І кільця К є підкільцем, отже, і підгрупою групи цього кільця, то перевірка того, що відношення конгруентності за ідеалом І є відношення еквівалентності. Узгодженим з операцією додавання, приводиться точно так, як і в теорії груп. І тому зараз проводити її не будемо. Покажемо тільки, що коли

a º b (mod I), c º d (mod I), /1/

то ac º bd (mod I) /2/

з цією метою розглянемо різницю ac – bd

ac-bd=(ac – bd) + (bc – bd) = (a-b)c +b(c-d) /3/

в силу конгруенції /1/ a-b, c-d І. тоді за другою умовою з означення ідеалу (a-b)c, b(c-d) І, внаслідок того, що ідеал є підкільцем (a-b)c +b(c-d) І, що рівносильна конгруенції /2/. Теорема доведена.

Виявляється, що відношення конгруентності за ідеалом І вичерпуються усі відношення еквівалентності, узгодженні з операціями кільця. Точніше справедлива теорема 2.

Теорема 2. Для всякого відношення еквівалентності в кільця К, узгодженого з операціями цього кільця, існує ідеал І такий, що дане відношення еквівалентності є відношення конгруентності за ідеалом І.

Доведення цієї теореми проводити не будемо.

2.Фактор-кільця комутативного кільця за ідеалом І.

Добре відомо, що всяке відношення еквівалентності на множені І породжує розбитя цієї множини на класи, класи еквівалентності. Та відношення конгруентності за модулем ідеалу І в кільці К породжує розбиття кільця К на класи. Ці класи називають суміжними класами або класами елементів. Конгруентних за ідеалом І.

Означення Суміжним класом комутативного кільця К за ідеалом або класу елементів, конгруентних за ідеалом І кільця К називають всякий клас еквівалентності відношенням конгруентності за ідеалом І, тобто. Сукупність С а усіх елементів кільця К, які конгруентні елементу а К, і значить конгруентні між собою за ідеалом І.

Як уже відзначалося, кожен ідеал І кільця К є підгрупою адитивної групи кільця К і, значить, відношення конгруентної в кільці К за ідеалом І є відношенням конгруентності в адитивній групі кільця К за підгрупою І, а кожен суміжний клас кільця К за ідеалом І є суміжним класом адитивної групи кільця К за підгрупою І. Тому суміжні класи кільця К за ідеалом І мають таку ж структуру, як і суміжні класи адитивної абелевої групи за підгрупою, тобто, справедлива така теорема.

Теорема 3. Всякий суміжний клас Са комутативного кільця К за ідеалом І можна подати у вигляді Са = а + І, де а — довільний елемент класу Са. Навпаки, всяка множина а + І, де а — довільний елемент кільця К, утворює суміжний клас кільця К за ідеалом І.

Нагадаємо, що за означенням

Розглянемо сукупність К / І усіх суміжних класів комутативного кільця К за ідеалом І

Як відомо, у випадку адитивної абелевої групи ця сукупність утворює групу, так звану фактор-групу. У випадку кільця сукупність К/І є кільцем.

Теорема 4. Сукупність К / І усіх суміжних класів комутативного кільця К за ідеалом І є комутативним кільцем. Якщо кільце К містить І, то і кільце К / І містить одиницю.

Кільце К / І називають фактор-кільцем кільця К за ідеалом І.

Доведення. Сукупність К / І можна розглядати як сукупність суміжних класів адитивної групи кільця К за підгрупою І, а така сукупність, як відомо з теорії груп, утворює адитивну абелеву групу, фактор-групу групи К за підгрупою І, причому операція додавання задається формулою:

Тому для завершення доведення теореми треба тільки ввести у множині К / І операцію множення і перевірити, що вона є асоціативною, комутативною і пов’язана з додаванням дистрибутивним законом.

Операцію множення суміжних класів задамо так:

Покажемо, що так означене множення є однозначне, тобто, що за формулою у відповідність суміжним класам а+І та b+І ставиться єдиний суміжний клас ab + І. Неоднозначність може виникнути за рахунок того, що в поданні суміжного класу у виді а+І елемент а є довільним елементом цього класу. Значить, якщо

, то .

Тоді і щоб множення було однозначним, має бути справедлива рівність .

Доведемо, що це насправді так.

Належності , означають, що

Тоді звідки виходить, що класи ав+І і а1в1 мають спільний елемент а1в1,і тому вони співпадають:

аb+І = а1b1

Цим однозначність множення доведена.

Асоціативність множення класів випливає із асоціативності множення в К:

.

Аналогічно доводиться комутативність множення класів. Так само аналогічно виводиться дистрибутивність:

.

Якщо в кільці К є одиниця, то, очевидно клас 1+І — одиниця фактор-кільця К / І.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.036 сек.)