Колебания груза на пружине

Колебания массы на пружине при отсутствии вынуждающей силы называются свободными. Свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими.

Колебательное движение груза на пружине происходит под действием упругой силы по вертикальному направлению.

По второму закону Ньютона

или ,

где – масса колеблющегося тела, – коэффициент упругости (жёсткость) пружины. Пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой и периодом . Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна .

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, в которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания

или , , (1)

где – коэффициент упругости (жёсткость), – масса колеблющейся системы, – смещение колеблющейся системы, – сила упругости (возвращающая сила). Решение дифференциального уравнения имеет вид

или ,

где – колеблющаяся величина (смещение, скорость, ускорение, сила, импульс и др.), – время, – амплитуда колебания, равная максимальному отклонению колеблющейся величины от положения равновесия, – циклическая (круговая) частота. Циклическая частота численно равна числу полных колебаний, совершаемых за время с, т.е. , – частота колебаний равна числу полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Период колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание. Фаза колебания определяет значение в данный момент времени , или какую часть от амплитуды составляет смещение в данный момент времени. Начальная фаза колебания определяет момент начала отсчёта времени, т.е. при .

Характеристики гармонического свободного колебания материальной точки (массы на пружине), совершаемого по закону , при

, .

Здесь индексом 0 обозначены (, , , , , , ) – максимальные (амплитудные) значения величин.

Скорость м.т. , где .

Ускорение м.т. ; .

Возвращающая сила, действующая на м. т. ; .

Импульс м.т. ; .

Кинетическая энергия м.т. ; .

Среднее значение кинетической энергии м.т. за один период .

Потенциальная энергия м.т. ; .

Среднее значение потенциальной энергии м.т. .

Колебание м.т. совершается по закону , при , .

Скорость м.т. , где .

Ускорение м.т. ; .

Возвращающая сила, действующая на м.т. ; .

Импульс м.т. ; .

Кинетическая энергия м.т. ; .

Потенциальная энергия м.т. ; . По закону сохранения механической энергии максимальные значения , средние значения за период . Полная энергия колеблющейся м. т. равна . Так как , .

Согласно выражениям (2) квадрат у синуса и косинуса в кинетической и потенциальной энергии показывает, что эти величины со временем изменяются с удвоенной частотой .

(2)

Ускорение, скорость, смещение м. т. находятся в последовательности . Ускорение опережает скорость по фазе на , а смещение – на . Скорость опережает смещение по фазе на . Вторая производная от смещения по времени пропорциональна смещению и имеет обратный ему знак . Сила, действующая на колеблющуюся м. т., . Она пропорциональна смещению м. т. из положения равновесия и направлена к положению равновесия.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Энергия расходуется на работу против сил трения. Затухающие колебания совершаются при одновременном действии сил: упругой силы и силы сопротивления среды. Уравнение затухающего колебания при небольших затуханиях вытекает из второго закона Ньютона , т.е.

, или , или , (3)

где – масса колеблющегося тела, = - его ускорение, F_упр= - - упругая (возвращающая) сила, – сила сопротивления среды, – коэффициент сопротивления среды, = – скорость движения тела в среде. Решение дифференциального уравнения (3) даёт зависимость смещения от времени

,

где – коэффициент затухания, – циклическая частота затухающих колебаний системы, – собственная циклическая частота свободных колебаний системы. Отношение двух последующих амплитуд одного и того же знака и , отстоящих друг от друга на период , называется декрементом затухания . Натуральный логарифм от отношения двух последующих амплитуд, отстоящих друг от друга на период , называется логарифмическим декрементом затухания . Время релаксации равно промежутку времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз. Логарифмический декремент затухания , где = / T – число колебаний, совершаемых за время релаксации, т.е. за время уменьшения амплитуды в раз. Добротностью колебательной системы называется число, равное умноженному на 2π отношению полной энергии к величине потери энергии за период за счёт её диссипации. Добротность пропорциональна числу колебаний , совершаемых системой за время релаксации .

2. Задания к лабораторной работе

Задание 1. Определение коэффициента упругости пружины. Коэффициент упругости (жёсткость) пружины находят по её удлинению под действием груза . Для этого пружину с прикреплённой площадкой для грузов подвешивают к стойке, фиксируют начальное положение нижней площадки , затем добавляют грузы и каждый раз записывают новое положение нижней части площадки по линейке. При этом грузы не должны совершать колебания. То же проделывают для других пружин. Результаты измерений записывают в таблицу 1 и по полученным данным вычисляют средний коэффициент упругости (жёсткость) каждой пружины, , где - число измерений.

Таблица 1

Определение коэффициента упругости пружины

Пружина 1, м
	m, кг	, м	, м	, Н/м
				Н/м
Пружина 2, м
	m, кг	, м	, м	, Н/м
				Н/м
Последовательное соединение пружин Н/м, Н/м

Подвешивают общую массу грузов () к двум пружинам, соединённым друг за другом (последовательно). На каждую пружину по третьему закону Ньютона действует одна и та же сила, равная . Общее удлинение равно сумме удлинения отдельных пружин. Общий коэффициент упругости, полученный из опыта , сравнивают с расчётным (k _p) значением

и записывают в таблицу 1.

Задание 2. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза. Для этого подвешивают груз к одной из пружин, коэффициент жёсткости которой известен. Оттягивая пружину рукой, приводят её в колебательное движение и измеряют по секундомеру время числа колебаний. Период колебаний . Затем определяют периоды колебаний с другими грузами. Результаты вычислений и измерений заносят в таблицу 2. Масса площадки грузов учитывается.

Таблица 2

Определение зависимости периода колебаний груза на пружине от его массы

Опыт	Пружина, Н/м	Теор. ()
, кг		, с	, с	, с2	, с2

Теоретическое значение периода ; . Сравнивают значения квадратов периодов опытного и теоретического .

Задание 3. Определение зависимости собственных колебаний пружинного маятника от коэффициента упругости. Для этого измеряют время нескольких колебаний одного и того же груза на различных пружинах. Затем определяют значение периода опытного () и теоретического () колебаний для каждой пружины по формулам и . Масса площадки для грузов учитывается. Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 3.

Таблица 3

Определение зависимости собственных колебаний пружинного маятника

от коэффициента упругости

Пружина	Масса = кг	Теор. ()
(табл. 1)		, с	, с	, с2	, с2

Сравнивают значения квадратов периодов опытного и теоретического .

Задание 4. Определение коэффициента упругости двух одинаковых пружин, соединённых параллельно, по периоду колебаний. Для этого фиксируют в опытах время число колебаний для одной пружины и двух пружин, соединённых параллельно. Затем для одной пружины и двух пружин вычисляют периоды , среднее значение и коэффициенты упругости . Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 4.

Таблица 4

Определение коэффициента упругости двух одинаковых пружин, соединённых параллельно, по периоду колебаний

Одна пружина, = кг	Две пружины, = кг
Опыт		, с	, с		, с	, с
			= с			= с
Н/м	Н/м

Коэффициент упругости для двух пружин, соединенных параллельно, .

Задание 5. Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника методом сравнения амплитуд. Один из грузов помещают на пружину и приводят в колебание. Измеряют время , за которое начальная амплитуда уменьшается в 10 раз, т.е. . Откуда логарифмический декремент затухания пружинного маятника . Значение берут из таблицы 2 для той пружины, с которой проводили данное измерение.

Вычисляют по формулам коэффициент затухания , коэффициент сопротивления (трения) , добротность , время релаксации , число колебаний за время релаксации . Значения измерений и вычислений заносят в таблицу 5.

Таблица 5

Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника методом сравнения амплитуд

Опыт	, с		, с-1	, кг/с		, с
= м = м
= м = м
= м = м
Средние значения	=	= с-1	= кг/с	=	= с	=

3. Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются гармоническими?

2. Запишите параметры гармонического колебания (линейного): смещение , скорость , ускорение , силу упругости , импульс , кинетическую энергию , потенциальную энергию , совершаемых по закону синуса и косинуса в зависимости от времени, массы системы, циклической частоты колебаний .

3. Составте дифференциальное уравнение гармонических колебаний (математического маятника, пружинного маятника).

4. Составте дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

5. Запишите параметры затухающих гармонических колебаний: логарифмического декремента затухания, коэффициента сопротивления среды.

Составление отчёта

Отчёт составить по схеме: 1) цель работы, 2) приборы и принадлежности, 3) схема установки, 4) расчётные формулы с пояснением величин и их размерностей, 5) таблицы измерений, 6) расчёты определяемых величин и их погрешностей, 7) правильно записанные окончательные результаты.

ЗС. ГК. Соударение пули () с баллистическим маятником (Б.м.). Задаваемые параметры Запишите изменения определяемых параметров Б.м.: u; K; ; p; T; ; h; ; ; ; , η, и пули перед ударом

ЗС. ГК. Неупругое соударение падающего тела m с массой M на пружине. Задаваемые параметры Запишите изменения определяемых параметров сразу после соударения: ; u; p; K; Q; ; ; ; ; и тела перед ударом

ГК. Пружинный маятник (П.м.). Задаваемые параметры . Запишите изменения определяемых параметров:

Поиск по сайту: