АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Понятие предела

Читайте также:
  1. I. Понятие и значение охраны труда
  2. I. Понятие общества.
  3. II. ОСНОВНОЕ ПОНЯТИЕ ИНФОРМАТИКИ – ИНФОРМАЦИЯ
  4. II. Понятие социального действования
  5. Авторское право: понятие, объекты и субъекты
  6. Активные операции коммерческих банков: понятие, значение, характеристика видов
  7. Акты официального толкования: понятие и виды
  8. Акты применения права: понятие, признаки, виды
  9. Анализ различных критериев периодизации психического развития. Понятие ведущей деятельности
  10. Арбитражное соглашение - понятие, виды, применимое право.
  11. Аристотелево понятие метафизики
  12. Архитектурные стили, понятие, признаки, виды. Основные стили белорусской архитектуры.

Числовая последовательность – функция, определенная на множестве натуральных чисел . Если множество значений ограничено – последовательность ограниченная. Такая последовательность может иметь предел. Пределом называют число, если существует точное (номер члена последовательности) начиная с которого восполняется неравенство , где - сколько угодно малое положительное число. Обозначение:

Рассмотрим простую линейную функцию и зададимся вопросом, к какому числу А приближаются значения этой функции, когда значения переменной х приближаются к числу 3. Вычислим соответствующие значения f(x) и представим их в виде таблицы:

х 2,0 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999
f(x) 4,0 5,0 5,8 5,98 5,998 5,9998

 

Х 4,0 3,5 3,1 3,01 3,001 3,0001
f(x) 8,0 7,0 6,2 6,02 6,002 6,0002

 

Из таблицы видно, что значения функции f(x) приближаются к числу 6, если значения х приближаются к числу 3 как «слева» (по числовой прямой) так и «справа». Символически это записывается так: и читается: предел функции , когда х стремится к 3 (), равен 6.

Теперь дадим общее определение предела функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точ­ки за исключением быть может, самой точки .

Определение1: Число А называется пределом функции y = f(x) при , если для любого найдется такое, что при всех х, удовле­творяющих неравенству , будет выполняться неравенство . Кратко это можно записать так:

Выясним, что представляет собой геометрически понятие предела функции. Раскроем знаки модуля в неравенствах из определения предела функции: , , Аналогично f(x) .

Геометрически это означает, что какую бы окрестность точки А на оси OY мы ни взяли, всегда найдется окрестность точки на оси ОХ, ко­торую функция переводит в окрестность оси OY.

Х

- +

Дадим также определение предела функции на бесконечности и одностороннего предела.

Определение 2: Функция y=f(x) имеет предел на бесконечности при , если для любого М>0 существует такое, что при всех х, удовле­творяющих неравенству , будет выполняться неравенство f(x)>M (f(x)<-M).

Кратко это можно записать так:

Определение 3: Число А называется пределом функции y=f(x) при при слева, или левосторонним пределом, если для любого найдется такое, что при всех х, удовле­творяющих неравенству , будет выполняться неравенство . Кратко это можно записать так:

Определение 4: Число А называется пределом функции y=f(x) при справа, или правосторонний пределом, если для любого найдется такое, что при всех х, удовле­творяющих неравенству , будет выполняться неравенство . Кратко это можно записать так:

Функция имеет предел в некоторой точке, равный некоторому значению, тогда и только тогда, когда существуют и равны этому же значению оба односторонних предела:

Рассмотрим функцию , ее предел для любого

Рассмотрим функцию , ее предел для любого

Пример: найти предел функции при

, т.к. , то , а

, т.к. , то , а

Таким образом, предел функции при х, стремящемся к нулю, не существует


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)