АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Читайте также:
  1. Абезпечення громадського порядку і громадської безпеки.
  2. Акти офіційного тлумачення (інтерпретаційні акти) – це правові акти, прийняті компетентними державними органами, що містять роз’яснення норм права або порядку їх застосування.
  3. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  4. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
  5. Виклад суті згаданого способу почнемо з визначника ІІ-го порядку.
  6. Вкажіть номер неправильної відповіді. Для виконання завдань по охороні громадського порядку організовуються:
  7. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  8. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  9. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  10. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  11. Диференціальні рівняння вищих порядків
  12. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ

Означення: Рівняння виду P dx + Q dy = 0, (1)

 

де Р і Q- однорідні функції, х і у однакового степеня, називаються однорідним диференціальним рівнянням першого порядку.

 

Для інтегрування таких рівнянь проводять заміну змінних, покладаючи , тобто

.

Ця підстановка зводить до диференціального рівняння відносно і , в якому змінні відокремлюються, після чого можна інтегрувати.

Для отримання кінцевої відповіді потрібно змінну замінити на

Наприклад, рівняння однорідне, так як множники при і одного степеня, в даному випадку другого, рахуючи по обох змінних та відразу.

Перевіримо це. Перепишемо рівняння так:

 

Розділимо обидві частини рівняння на добуток

тоді

 

Розділивши тепер чисельник і знаменник дробу (в лівій частині рівності) на отримаємо:

 

Отже, похідна

звідси, наше рівняння однорідне.

 

 

Покажемо на прикладі, як розв’язувати такі рівняння.

 

Приклад 9. Розв'яжіть рівняння (2)

Розв'язування

 

Зведемо рівняння (2) до виду (1), помноживши обидві його частини на dx:

отримаємо:

;

 

або

у²dx + (x²-xy)dy = 0. (3)

У рівнянні (3)

Р = у² і Q = x² - xy

Як бачимо, Р і Q - однорідні функції х та у, причому обидві функції другого степеня; тому рівняння (2) однорідне.

Із рівняння (3) знайдемо :


/(-1)

(4)

 

Нехай

(5)

де z- нова функція х. Знайшовши z, ми отримаєм із рівності (5) шукану функцію

 

Для пошуку z продиференціюємо по х рівняння (5), застосувавши правило похідної :

 

,

 

де d wsp:val="00FD1720"/><wsp:rsid wsp:val="00FF5919"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="004E3475"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>x'=1</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , а ,

тоді запишемо

(6)

 

 

Підставимо у рівняння (4) значення у і dy, взяті з рівняння (5) і (6)

 

(4)

одержимо

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

В одержаному рівнянні розділимо змінні:

домножимо обидві частини рівняння на d wsp:val="00FD1720"/><wsp:rsid wsp:val="00FF5919"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00AF2330"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>dx</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

 

 

домножимо обидві частини рівняння на :

 

або

 

Відокремивши змінні у рівнянні, проінтегруємо його обидві частини:

.

В результаті інтегрування отримаємо:

, ( 7 )

де С запишемо як ,

Тепер рівняння набуде вигляду

,

 

С,

або

(8)

Із рівності (5) знаходимо :

 

Замінивши у рівнянні (8) z знайденим його значенням, отримаємo

або

 

(9)

 

 

Рівняння - загальний розв'язок рівняння (2).

Відповідь: - загальний розв'язок диференціального рівняння.

 

Приклад 10. Розв'язати рівняння

 

Розв'язування

 

Так як це рівняння однорідне, то робимо підстановку

Диференціюємо

або

(похідна ).

Зведемо дане рівняння до вигляду (дивись перетворення у попередньому завданні)

замінимо в ньому і їхніми значеннями:

 

 

 

, у правій частині рівняння зведемо до спільного знаменника

 

або

Відділяємо змінні, помноживши обидві частини рівності на , отримаємо

у правій частині рівності почленно поділимо чисельник на знаменник

Інтегруємо:

(замість С підставлено );

 

Замінимо на тоді

де

Замінюючи на С, отримаємо

Відповідь: - загальний розв'язок диференціального рівняння.

 

 

Приклад 11. Розв'язати рівняння

Розв'язування

 

Перепишемо рівняння так:

Ясно, що означає, рівняння однорідне.

Отже, звідки

Диференціюємо:

або

де ,

Замінюючи в рівнянні і їх значеннями, будемо мати:

 

 

Розділяючи змінні, маємо

Інтегруємо:

Замінюючи на отримаємо:

Це і є загальний інтеграл даного диференціального рівняння.

 

Відповідь: - загальний розв'язок диференціального рівняння.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.017 сек.)