Кривые 2-го порядка

§1. Кривые 2-го порядка.

Рассмотрим кривые, которые в некоторой подходящей прямоугольной декартовой системе координат определяются уравнениями вида:

, (1)

, (2)

. (3)

Рис. 1. Эллипс, А 1 А 2 – большая ось, В 1 В 2 – малая ось, точки и – фокусы.

Эти кривые называются эллипсом, гиперболой и параболой соответственно. Уравнения (1) – (3) называются каноническими уравнениями этих кривых, а упомянутая система координат – канонической по отношению к данной кривой. В совокупности эллипс, гипербола и парабола называются невырожденными кривыми 2-го порядка (или кривыми 2-го порядка) в свя-

зи с тем, что они определяются уравнениями второй степени относительно координат. Заметим, что уравнение второй степени может задавать и другие линии (см., например, Математика, выпуск 1).

На рисунках 1 – 3 изображены эллипс, гипербола и парабола, определяемые каноническими уравнениями (1) – (3), точки А ₁, А ₂, В ₁, В ₂ на рисунках 1, 2 имеют следующие коор-динаты: А ₁(– а, 0), А ₂(а, 0), В ₁(– b, 0), В ₂(b, 0).

Пример 1. Написать уравнение прямой L, проходящей через фокус параболы параллельно прямой, проходящей через центр окружности и левый фокус гиперболы .

►Сравнив уравнение данной параболы с уравнением (3), устанавливаем, что 2 р = 8, р = 4. Фокус параболы, определяемой уравнением (3), находится в точке (р /2, 0), поэтому точка F (2, 0) – фокус данной параболы (рис. 4). В уравнении окружности выделим полные квадраты из членов, содержащих координаты и преобразуем уравнение окружности к виду: , откуда имеем: . Таким образом, точка А (–3, 3) – центр данной окружности (рис. 4). Левый фокус гиперболы, определяемой уравнением (2), находится в точке (– с, 0), где с определяется из равенства: . Поскольку в данном случае а = 4, а b = 3, то с = 5 и точка F ₁(–5, 0) – левый фокус заданной гиперболы (рис. 4). Теперь можно написать каноническое уравнение прямой L, т.е. уравнение вида:

, (4)

где – координаты любой точки , принадлежащей данной прямой, а – координаты любого вектора , параллельного данной прямой (называемого её направляющим вектором). За точку в данном случае примем точку F (2, 0), а за вектор – вектор . Подставив координаты точки F и вектора в уравнение (4), имеем: L: или

L: .◄

Пример 2. Напишите уравнение и найдите длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, проходящую через центр окружности и фокус параболы .

►Выделим в уравнении окружности полные квадраты из членов, содержащих координаты. Преобразуем уравнение окружности к виду: , откуда получаем: . Таким образом, точка А (2, 0) – центр данной окружности, а её радиус равен 2 (рис. 5). Уравнение данной параболы преобразуем к виду: и сравним его с каноническим уравнением вида: . Осью симметрии такой параболы является ось Оу, ветви её направлены вниз, а фокус находится в точке (0, – р /2). В данном случае 2 р = 8, р = 4, а точка F (0, –2) – фокус (рис. 5). Напишем каноническое уравнение прямой (FA), подставив в (4) координаты точки А и вектора : . После очевидных преобразований имеем: (FA): . Длину перпендикуляра (ОВ) вычислим, используя формулу для расстояния d от точки до прямой L: :

. (5)

Подставив в (5) координаты точки О (0, 0) и коэффициенты уравнения прямой (FA), получим: | ОВ | = . Для перпендикуляра (ОВ) вектор является вектором нормали, поэтому для (ОВ) можно написать общее уравнение, подставив координаты этого вектора и начала координат О (0, 0) в уравнение . Имеем

(ОВ): или (ОВ): .◄

Поиск по сайту: