АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задачи для самостоятельного решения. 1. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом T = 40

Читайте также:
  1. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  2. I Психологические принципы, задачи и функции социальной работы
  3. I. 1.1. Пример разработки модели задачи технического контроля
  4. I. 1.2. Общая постановка задачи линейного программирования
  5. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  6. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  7. I. ЗАДАЧИ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
  8. I. Значение и задачи учета. Основные документы от реализации продукции, работ, услуг.
  9. I. Иммунология. Определение, задачи, методы. История развитии иммунологии.
  10. I. Ситуационные задачи и тестовые задания.
  11. I. Цель и задачи дисциплины
  12. I.5.3. Подготовка данных для задачи линейного программирования

 

1. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом T = 40. Найдите значение f(2004), если f(–4) = –4,5.

2. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найдите значение f(f(1)), если

 

3. (МИЭТ, 2002, № 9 из 11.) Пусть

Решите неравенство f(4) ≤ g(f(x + 3)).

 

4. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Постройте график функции y = 2∙| f(f(x)) | – 1, где

 

5. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

где f(x) = x – 2.

 

6. (МИЭТ, 1998, № 10 из 11.) Постройте график функции y = f(f(x)), где

 

7. (МИЭТ, 2003, № 10 из 11.) Функция f(x) для каждого x равна наибольшему значению многочлена g(t) = –t2 – 8t – 15 на отрезке [x – 3; x + 1]. Постройте график функции f(x).

 

8. Найдите f(x), если:

 

9. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство

имеет место для всех действительных x. Докажите, что функция f(x) является периодической с периодом 2.

 

10. (МИЭТ, 1999, № 9 из 11.) Функция f(x), определенная при всех значениях x и не равная 0 ни при каком значении x, удовлетворяет равенству Найдите f(2004), если f(8) = 5.

 

11. (МИЭТ, 2005, № 10 из 11.) Известно, что f(x) нечетная периодическая функция с периодом 6 и f(x) = 3x – x2 при x ∈ [0; 3]. Вычислите сумму

f(1) + f(2) +... + f(100).

 

12. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найдите f(x), если для всех x имеет место соотношение xf(x) + f(2 – x) = 2(x + 1).

 

13. (МИЭТ, 2005, № 8 из 11.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет равенству f(x + 4) = 2x – 1 – f(x), а при x ∈ [0; 4) задается формулой f(x) = x2 – 3x.

Найдите f(135).

 

14. (МГУ, ВМК, устный экзамен, 1997.) Существует ли линейная функция f(x), удовлетворяющая для всех x соотношению 2f(x + 2) + f(4 – x) = 2x + 5?

 

15. (МГУ, химический факультет, 2001, № 7.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет уравнению f(x + 1) = f(x) + 2x + 1. Найдите f(2001), если f(0) = 0.

 

16. (МГУ, биологический факультет, 2005, № 7.) Функция f(x) такова, что для всех рациональных чисел x и y выполнено равенство f(x + y) = f(x)∙f(y). Известно, что f(4) = 16. Найдите f(–1,5).

 

17. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение

x6 – | 7 – 6x |3 = 26cos x2 – 26cos (7 – 6x).

 

18. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение

x6 – | 4x + 3 |3 = 25cos x2 – 25cos (4x + 3).

 

Ответы:

1. 4,5. 2. 9. 3. [8,5; 13) c (13; +∞).

4.

 

5.

6.

 

7.

8. а) f(x) = x2 – 5x + 6;

б) f(x) = x2 – 14;

в) f(x) = x2 – 2, x ≠ 0;

г) f(x) = 12 – x2;

д)

е)

10. 0,8. 11. 2. 12. f(x) = 2.

13. 133. 14. Существует (и единственная!)

 

15. 20012. Указание. Достаточно доказать, что функция f(x) удовлетворяет функциональному уравнению f(x + a) = f(x – a) + 4ax при любом натуральном a. Это можно сделать, например, с помощью метода математической индукции. Тогда, положив x = a, из уравнения f(2a) = f(0) + 4a2 можно вычислить f(2000): f(2000) = = 20002. Тогда получим f(2000 + 1) = f(2000) + + 2∙2000 + 1, или f(2001) = 20012. Замечание. Можно также доказать, что общее решение исходного функционального уравнения имеет вид f(x) = x2 + g(x), где g(x) — произвольная периодическая функция с периодом T = 1, определенная на всей числовой прямой.

16. Указание. Установите вначале, что f(0) = 1. Затем, показав, что f(x) ≠ 0, докажите равенство Выведите для всех натуральных n соотношение f(nx) = nn(x). Поскольку f(4) = f(8∙0,5) или 16 = f8(0,5), то

(Подумайте, почему f(x) > 0.) Тогда f(1,5) = f(3∙0,5). Замечание. Можно также доказать, что f(x) = 2x для рациональных x.

17.

 

В. Бардушин;

А. Белов;

А. Прокофьев;

Т. Фадеичева


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)