АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Інтегральні рівняння Вольтерра

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  4. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  5. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  6. Диференціальні рівняння вищих порядків
  7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  8. Диференціальні рівняння другого порядку
  9. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
  10. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними
  11. Диференціальні рівняння першого порядку з
  12. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку

1. Зв’язок між ЛДР та інтегральними рівняннями Вольтерра.

Розв’язок ЛДР з неперервними коефіцієнтами з початковими умовами може бути зведене до розв’язку деякого інтегрального рівняння Вольтерра ІІ роду.

При перетвореннях будемо використовувати формулу

.

Нехай для конкретності маємо ДР-2 , . Покладемо , тоді враховуючи початкові умови, послідовно знаходимо:

, .

Підставимо в ДР, отримаємо

.

.

Покладемо , отримаємо .

Існування єдиного розв’язку ІР випливає зі існування та єдності розв’язку задачі Коші для ЛДР з неперервними коефіцієнтами в околі точки .

Справедливе обернене: розв’язуючи ІР, отримаємо єдиний розв’язок ЛДР-2 з початковими умовами.

Приклад. Скласти ІР, що відповідає ДР з початковим умовами .

.

Означення. Ядро називається виродженим, якщо його можна представити у вигляді скінченної суми добутку двох функцій, одна з яких залежить тільки від , а інша тільки від , тобто має вигляд

Тоді ІР матиме вигляд .

Приклад. Розв’язати ІР Вольтерра ІІ роду .

З рівняння випливає, що . Це ЛНДР-1, загальний розв’язок якого . Використовуючи початкову умову .

Приклад.

,

.

З умови , тому, тому , ,

.

Приклад. Розв’язати ІР Вольтерра 1-го роду .

Продиференціюємо по праву і ліву частини:

З самого ІР маємо .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)