АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Екстремум функції

Читайте также:
  1. III. Соціальна політика, її сутність і функції.
  2. АБСТРАКТНІ КЛАСИ І ЧИСТІ ВІРТУАЛЬНІ ФУНКЦІЇ_________________________________________
  3. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  4. Автоматизоване робоче місце бухгалтера (АРМБ): призначення, функції та його рівні.
  5. Алгоритм дослідження функції на парність та непарність
  6. Алгоритм знаходження функції, оберненої до даної.
  7. Асимптоти графіка функції
  8. Асимптоти графіка функції
  9. Асимптоти функції.
  10. Банківська система. Банки, їх види та функції
  11. Банківська система. Банки, їх види та функції
  12. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн

Означення 2.1. Точка називається точкою максимуму функції , якщо в деякому околі точки виконується нерівність (рис. 4).

Означення 2.2. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо в деякому околі точки справджується нерівність (рис. 4).
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції, а значення функції у точках і – відповідно максимумом і мінімумом функції. Максимум і мінімум функції об’єднуються під загальною назвою екстремуму функції, який часто називають локальним екстремумом, підкреслюючи, що поняття екстремуму пов’язане з достатньо малим околом точки екстремуму. Це означає на одному проміжку функція може мати декілька точок максимуму і мінімуму.

Рис. 4. Екстремуми функції

Теорема 2.1. (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має в точці екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулеві або не існує

Іншими словами, функція може мати екстремум тільки у тих точках, в яких похідна дорівнює нулеві або не існує. Точки, в яких похідна функції дорівнює нулеві або не існує, називаються критичними (або стаціонарними) точками. Звертаємо увагу на те, що ці точки повинні входити в область визначення функції. Однак легко переконатись, що критична точка зовсім не обов’язково є точкою екстремуму. Наприклад, функція зростає на усій числовій осі (див. додаток). Похідна в точці дорівнює нулеві, тобто , але екстремуму в цій точці немає.
Отже, щоб знайти екстремуми функції, потрібно додатково досліджувати критичні точки. Іншими словами, необхідно визначити достатню умову екстремуму.
Теорема 2.2. (перша достатня умова екстремуму). Якщо, переходячи через точку , похідна диференційованої функції змінює знак з плюса на мінус, то точка є точкою максимуму функції , а якщо з мінуса на плюс, то – точка мінімуму.

Схема дослідження функції на екстремум.
1. Знайти область визначення функції .
2. Обчислити похідну .
3. Визначити критичні точки функції, тобто точки, в яких або не існує.
4. Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції.
5. Знайти екстремуми функції, обчисливши значення функції в точках екстремуму.

Приклад 2.1. Дослідити на екстремум функцію .
á 1. Область визначення цієї функції .
2.Обчислюємо похідну функції .
3. Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичні точки функції:
.
Зауважимо, що в точці похідна не існує, але ця точка не є критичною, оскільки вона не входить в область визначення функції.
4. На числову вісь наносимо область визначення функції і критичні точки (рис.5).


Рис. 5. Інтервали монотонності

Щоб встановити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки виберемо, наприклад, значення і і знайдемо і ; отже, , якщо і , якщо .
Аналогічно встановлюємо, що на інтервалі і , якщо .
Згідно з достатньою умовою – точка мінімуму цієї функції, а – точка максимуму.
5. Знаходимо , .
Теорема 2.3. (друга достатня умова екстремуму). Якщо функція двічі диференційована і , а , то є точкою мінімуму функції; якщо , то є точкою максимуму.

Схема дослідження на екстремум функції за допомогою другої достатньої умови загалом аналогічна до наведеної вище схеми. Відмінність в п. 4, який встановлює наявність екстремуму: тут необхідно знайти другу похідну і визначити її знак у кожній критичній точці.

Приклад 2.2. Функції, що описують залежність загального доходу і загальних витрат фірми від кількості одиниць продукції, мають вигляд: (гр.од.) і (гр.од.). Знайти обсяг продукції, який максимізує прибуток, і максимальний прибуток.
á Функція прибутку – це різниця між функціями загального доходу і загальних витрат, тобто
.
Значення , яке максимізує прибуток, є точкою максимуму функції прибутку . Знайдемо критичні точки цієї функції:
– критична точка.
Оскільки , то функція , якщо , має максимум; (гр.од.).


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)