Дифференциальные уравнения второго порядка и выше, допускающие понижение порядка
I. Уравнения вида
Общее решение этого уравнения получают, произведя n последовательных интегрирований. При каждом таком интегрировании будет появляться новая произвольная постоянная.
Будем использовать то, что
Пример 8.1. Найти общее решение уравнения
Решение.
Проинтегрируем последовательно 4 раза
Пример 8.2. , , , Ответ.
II. Уравнения вида , не содержащее явно искомой функции у.
Рассмотрим уравнение – д.у. второго порядка. Положим , где z = z (x), тогда . Подставим в исходное уравнение и получим – д.у. первого порядка. Проинтегрируем это уравнение и получим его общее решение
Пример 8.3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
Решение. Имеем д.у. второго порядка, не содержащее явно у. , .
,
– д.у. первого порядка с разделяющимися переменными
, , , ,
,
– общее решение.
– частное решение.
Пример 8.4. Ответ:
III. Уравнения вида , не содержащее явно независимой переменной х.
Положим , где z = z (у), тогда .
Пример 8.5. Найти частное решение д.у. , если , .
Решение. ,
, ,
, , , ,
, , ,
– общее решение.
Рассмотрим начальные условия , . Тогда – частное решение.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Поиск по сайту:
|