АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ ТА ОЗНАЧЕННЯ

Читайте также:
  1. I. Загальні положення
  2. I. Розділ Загальні основи суспільного виробництва та економічного розвитку
  3. II. Поняття соціального процесу.
  4. А) Означення множини. Операції над множинами
  5. Адміністративна структура БМР має три органи: загальні збори акціонерів, рада директорів і правління.
  6. Азербайджанська Республіка: загальні відомості
  7. Акти застосування права: поняття, ознаки, види, структура
  8. Акцизний податок: поняття, платники, об'єкт, підакцизна продукція.
  9. Базові поняття
  10. Валовий внутрішній продукт: поняття та методи розрахунку
  11. Введення поняття комплексного числа
  12. Види умовних знаків топографічних карт, які видаються в Україні, пояснювальні підписи та цифрові позначення.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

 

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

 

(1.1)

 

яке пов’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідну, або, якщо його розв’язати відносно похідної

 

.  

Розв’язком диференціального рівняння (1.1) на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (1.1) перетворює його в тотожність по на .

Приклади. 1. – диференціальне рівняння першого порядку. Його розв’язком є функція

Дійсно, , тоді – одержали тотожність.

2. , розв’язком диференціального рівняння є функція . Дійсно, , тоді – одержали тотожність.

Функція , яка залежить від аргументу і довільної сталої , називається загальним розв’язком рівняння (1.1) в області , якщо вона задовольняє дві умови:

1) функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини;

2) для довільної точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову: .

Частинним розв’язком рівняння (1.1) називається функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні сталої .

Задача, в якій необхідно знайти частинний розв’язок рівняння (1.1), який задовольняє початковій умові , називається задачею Коші.

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння то такий розв’язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння (1.1). Рівність називають частинним інтегралом рівняння.

Приклади. 1. Перевірити, що функція являється загальним розв’язком диференціального рівняння

Знаходимо

Підставляємо в рівняння:

 

 

Або після перетворень одержимо тотожність

 

 

2. Знаючи, що функція – загальний розв’язок рівняння , знайти частинний розв’язок, який задовольняє початковим умовам при .

Легко переконатись у тому, що функція дійсно являється загальним розв’язком заданого рівняння, так як

 

 

Задовольняючи початковим умовам, знаходимо:

 

 

Отже, частинний розв’язок має вигляд:

 

 

З геометричної точки зору загальний інтеграл визначає на координатній площині сім’ю кривих, залежну від довільної сталої. Частинному розв’язку відповідає одна крива цієї сім’ї, що проходить через задану точку. В кожній точці така крива, яка називається інтегральною кривою, буде мати дотичну з кутовим коефіцієнтом . Сукупність трійок утворює так зване поле напрямків. Геометричне місце точок з однаковим напрямом поля називають ізоклінами.

Для задачі Коші і є теорема про існування та єдиність розв’язку.

Якщо функція неперервна в області D разом зі своєю частинною похідною , тоді для будь-якої точки (х00), яка належить області D, задача Коші має і причому єдиний розв’язок, визначений в деякому околі точки х0.

Приклади. 1. Знайти область існування та єдиності розв’язків диференціального рівняння

 

.

 

Оскільки права частина заданого рівняння та частинна похідна є неперервними функціями в усій дійсній площині, то рівняння має єдиний розв’язок для будь-якої точки 00).

2. Знайти область існування та єдиності розв’язків рівняння

 

.

 

Права частина заданого рівняння визначена і неперервна при . Оскільки частинна похідна не є неперервною при у=0, то в точках прямої у=0 умови теореми не виконуються, тобто рівняння має більше одного розв’язку.

 

2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ З ВІДОКРЕМЛЮВАНИМИ ЗМІННИМИ

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)