АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ожидаемое значение случайной переменной, её дисперсия и среднее квадратическое отклонение. (20) с.12-21

Читайте также:
  1. B) наиболее часто встречающееся значение признака в данном ряду
  2. Booleanзначение ? первое : второе
  3. I и II ополчения: их состав, значение.
  4. I. Государственный стандарт общего образования и его назначение
  5. I. Значение и задачи учета. Основные документы от реализации продукции, работ, услуг.
  6. I. Понятие и значение охраны труда
  7. V. Grammatik. Wiederholen Sie die Grammatik zum Thema « Словообразование. Значение суффиксов »
  8. V3: Дисперсия света
  9. VЗначение тату Гибискус - гавайский цветок
  10. Write ('Значение В-',В)
  11. XI. ЦЕЛЬ МИРА И ЦЕЛЬ ЖИЗНИ (НАЗНАЧЕНИЕ ЧЕЛОВЕКА)
  12. XX съезд КПСС. Процесс политической реабилитации и десталинизации во второй половине 1950 – начале 1960-х гг. и его значение.

Переменная величина х с областью изменения Х называется случайной, если в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами она принимает значение из множества Х, которое заранее невозможно предсказать. Случайная величина может быть дискретной или непрерывной.

Важную роль играют две количественные харак­теристики случайной переменной х: математическое ожидание (ожидаемое значение) и дисперсия. Ожидаемое зна­чение, которое обычно обозначают m, m или Е(х) находится по формуле

(2.1)

Подчеркнем, что m – это константа, вокруг которой рассеяны возможные значения q случайной переменной х.

Дисперсия s2, Var(x) – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной переменной х от её ожидаемого значения:

 

(2.2)

 

 

Положительный квадратный корень из дисперсии именуется средним квадратическим отклонением (СКО), или стандартным отклонением. Размерно­сти s и х совпадают. Величина s (как и s2) служит характеристикой неопределенности (изменчивости) х. Формула (2.2) может быть преобразована к виду

s 2 = Е(х2) - m2 (2.3)

который часто используется для расчётов вручную. Из формул (2.1) - (2.2) видно, что для отыскания величин m, s нужно знать закон распределения Px(q) случайной пере­менной х. Часто это закон неизвестен, и тогда можно оценить (приближенно определить) характеристики m, s 2 по результатам n независимых наблюдений (опытов) { х1, х 2, …, хn }. В этом наборе каждая компонента хi – это случайная пере­менная с одним и тем же законом распределения Px(q), при этом величины хi являются независимыми.

Что такое наилучшая оценка, или наилучшая технология оценки (estimator) математического ожидания случайной величины? Каковы её критерии?

1. Несмещенность. Применяя правильную технологию расчёта, мы не получим в результате обработки серии замеров статистически значимого отклонения от реального значения оцениваемого параметра.

2. Эффективность. среднее значение обеспечивает наиболее эффективную оценку математического ожидания Е(х). Эффективность может вступить в противоречие с несмещённостью. Например, исключение переменных из эконометрических моделей может привести к уменьшению дисперсий оцениваемых параметров и к их смещению относительно истинных значений.

3. Consistency. В российских учебниках это слово переводят как “состоятельность”, но правильнее говорить о сходимости. Это значит, что увеличивая количество замеров в серии n, мы можем получить разность оценок исследуемого параметра меньше любого e, то есть наши оценки сходятся к какому-то пределу.

41. Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов с использованием сервиса Поиск решения.

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями: Прямой - , Гиперболы , Параболы Сущность МНК заключается в нахождении параметров модели (а0, а1), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии: .

Проводят дифференцирование S по коэффицентам и приравнивают уравнения к 0. Из системы уравнений, получаем: Здесь

Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента (отношение коэффициента регрессии к его средней ошибке):

. Коэффициент регрессии считается статистически значимым, если превышает tтабл - табличное (теоретическое) значение t-критерия Стьюдента.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью F -критерия и величины средней ошибки аппроксимации .

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью F -критерия и величины средней ошибки аппроксимации

Использование сервиса Поиск решения позволяет наглядно продемонстрировать суть метода наименьших квадратов (МНК). Вызывается он так же, как и Анализ данных: в Excel-2003 и более ранних версиях через меню Сервис (если не вызывается, то Сервис-На д стройки); в Excel-2007 и 2010 в меню Данные (если не вызывается, то Пуск – Параметры Excel – Надстройки – Перейти). Схема расчетов та же, что и в задачах математического программирования:

задать произвольные коэффициенты аппроксимирующей функции f(X),

построить функцию Ŷ = f(X) в заданном диапазоне Х,

вычислить отклонения Y – Ŷ для диапазона, в котором значения Y используются для настройки модели, то есть оценки коэффициентов,

вычислить все (Y – Ŷ)2 и их сумму S(Y – Ŷ)2 (сумма квадратов отклонений (остатков),

вызвать Поиск решения, целевая ячейка S(Y – Ŷ)2, Изменяя ячейки коэффициенты, ограничений нет, Выполнить.

Метод наименьших квадратов с Поиском решения может применяться для настройки нелинейных моделей.

Показатель качества линейной модели – коэффициент корреляции Х и Y Rxy и его квадрат – коэффициент детерминации R2.

Вычисленные для обеих моделей R2, DW, GQ представлены в таблицах, а также показаны графики остатков. Видно, что качество обеих моделей высокое, применение МНК правомерно. Применение для прогноза одной из двух моделей зависит от дополнительной информации и личного опыта.

42. Проверка статистических гипотез, t-статистика Стьюдента, доверительная вероятность и доверительный интервал, критические значения статистики Стьюдента. Что такое “толстые хвосты”?

Инженеры считают, что размеры деталей подчиняются закону нормального распределения (ЗНР), выведенного К.Гауссом

Как видите, в функции Гаусса всего два параметра: математическое ожидание µх и стандартное отклонение s, которые сравнительно легко оценить по выборке, используя формулы (2.4) и (2.5). Эти формулы реализованы в Excel в функциях соответственно СРЗНАЧ, ДИСП и СТАНДОТКЛОН, категория «Статисти­ческие». Зная параметры гауссианы, можно вычислить процент деталей в различных диапазонах х (квантили), используя таблицы или функцию НОРМРАСП Excel. Поэтому закон нормального распределения широко применяется при проектировании машин и механизмов. Например, можно вычислить количество событий (деталей) в диапазоне { Е(х) -2s, Е(х) +2s}. Это примерно 95%, то есть в “хвостах” останется по 2,5%. В данном случае р = 0,95 – доверительная вероятность, а {Е(х) -2s, Е(х) +2s} - соответствующий доверительный интервал.

На Рисунке 2.2 показано применение функции НОРМРАСП. Площадь левого хвоста гауссианы (Рисунок 2.1) от - до -1,96 (почти 2) равна 0,024997895, то есть 2,5%.

В общем виде это утверждение выглядит следующим образом:

для уровня значимости a = 1– р доверительный интервал равен

{Е(х) – tкритs, Е(х) + tкритs}, где tкрит – критические значения статистики Стьюдента t = Е(х)/s. В нашем примере a – доля деталей в одном или двух “хвостах”. При уменьшении числа замеров надёжность оценки Е(х) и дисперсии падают, и доверительный интервал надо расширять. Поэтому критические значения статистики Стьюдента зависят от уровня значимости (доверительной вероятности) и количества замеров (степеней свободы). Распределение Стьюдента t крит (a, n) приведено во всех учебниках и практикумах по математической статистике и эконометрике. В Excel имеется функция СТЬЮДРАСП(t крит, n, число хвостов (1 или 2)), которая возвращает долю событий в одном или двух “хвостах”. Для практических целей достаточно запомнить, что при числе замеров больше 30 и р =95% t крит примерно равно 2 (при “бесконечном” числе замеров – 1,96).

Для принятия гипотезы о влиянии регрессора на эндогенную переменную используются таблицы критических значений t-статистики Стьюдента. Для bt=b/Sb. Предполагается, что при числе измерений больше 20 истинные значения коэффициентов уравнения регрессии a и b лежат в интервалах {a-2Sa, b+2 Sb } и {b-2Sb, b+2 Sa } с доверительной вероятностью 95%.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)