Процентные ставки и схемы начисления

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления: схема простых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагаетнеизменность базы, с которой происходит начисление.

Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р; требуемая доходность — r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р*r. Таким образом, размер инвестированного капитала через п лет (F_n) будет равен:

F_n=P+P*r+…+P*r=P(1+n*r) (11.3)

Схема сложного процента, предполагает, что очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты.В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т. е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, величина инвестированного капитала FV_n к концу n-го года будет равна:

FV_n=P(1+r)ⁿ (11.4)

В случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего средства:

• более выгодной является схема простых процентов, если срок кредита (операции) менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

• более выгодной является схема сложных процентов, если срок кредита превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

• обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов,

Областью применения сложных процентов являются долгосрочные операции (со сроком, превышающем год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов.

Рис. 11.2. Области применения сложных процентов

Для облегчения расчетов наращенных и дисконтированных сумм составлены таблицы, соответственно, мультиплицирующих и дисконтирующих множителей.

Мультиплицирующий множитель FM₁(n,r) показывает, во сколько раз увеличится сумма, вложенная на n лет под r процентов годовых, т.е. характеризует будущую стоимость одной денежной единицы на конец периода:

(11.5)

Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписывается следующим образом:

FV_п = Р+(1+r)ⁿ = Р*FM1(r,n), (11.6)

где FV_n - сумма, ожидаемая к поступлению через п базисных периодов;

Р- исходная сумма;

r — ставка наращения;

FМ1(r,п) — мультиплицирующий множитель.

Дисконтирующий множитель FM₂(n,r) показывает, какую долю от наращенной суммы составит начальная сумма, вложенная на n лет под r процентов годовых к концу n -го года, т.е. характеризует приведенную "сегодняшнюю" стоимость одной денежной единицы, ожидаемой к получению через n периодов в будущем:

(11.7)

Эта величина называется приведенной (текущей, временной) стоимостью одной денежной единицы, вложенной на n лет под r процентов годовых.

Базовая расчетная формула для алгоритма дисконтирования:

(11.8)

Где FV_n — доход, планируемый к получению в n-м году;

Р - дисконтированная (встречающиеся в литературе синонимы: приведенная, сегодняшняя, текущая) стоимость, т. е. оценка будущей величины F_n с позиции «сегодня» (например, текущего момента);

r — ставка дисконтирования;

FМ2(r, п) — дисконтирующий множитель.

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко оговари­ваются величина годового процента и частота начисления, отличная от ежегодной.

При краткосрочных операциях используется Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процентной ставки имеет следующий вид:

(11.9)

где ; t – срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимается за один день); T - расчетное количество дней в году.

В банковской практике существуют различные способы определения срока вложения денежных средств при начислении процентного (дисконтного) дохода.

Таблица 3.1

Практика определения расчетного количества дней в финансовых периодах

В зависимости от применяемой практики расчета количества дней в финансовом периоде различают точные и обыкновенные процентные или дисконтные ставки.

Точные проценты (дисконты) рассчитываются, исходя из точного количества дней в календарном месяце или году. Обыкновенные проценты (дисконты) рассчитываются, исходя из приблизительного (округленного) количества дней в месяце или году.

Наращивание по долгосрочным операциям по формуле сложных процентов с учетом внутригодового начисления.

Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества выплат дохода (m) внутригодовое начисление может быть:

1) полугодовым (m=2);

2) поквартальным (m=4);

3) ежемесячным (m=12);

4) ежедневным (m=365 или 366);

5) непрерывным (m=∞).

Формула наращения при полугодовом, поквартальном, ежемесячном м ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:

(11.10)

Процентный доход при непрерывном начислении процентов рассчитывается по следующей формуле:

(11.11)

где: - множитель наращения, который используется как при целом, так и при дробном значении n; - специальное обозначение процентной ставки при непрерывном начислении процентов (непрерывная процентная ставка, «сила роста»).

При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сроке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использования обычной формулы начисления сложных процентов:

(11.12)

Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.

Поэтому первоначально заявленная годовая процентная ставка для начисления сложных процентов, называемая номинальной, не отражает реальной эффективности сделки. Процентная ставка, отражающая фактически полученный доход, называется эффективной.

Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании можно рассчитать эффективную процентную ставку ().

Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:

(11.13)

Формула наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется процента:

(11.14)

Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:

(11.15)

где: – эффективная процентная ставка; r – номинальная процентная ставка; m – количество внутригодовых выплат.

Величина эффективной процентной ставки зависит от количества внутригодовых начислений (m). При m=1номинальная и эффективная процентные ставки равны, а чем больше количество внутригодовых начислений, тем больше эффективная процентная ставка.

Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых составляет дробное количество лет.

При этом начисление процентов возможно двумя способами:

1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;

2) начисление процентов по смешанной схеме.

В первом случае вычисления ведутся по следующей формуле:

(11.16)

где: f – дробная часть срока вложения средств.

Во втором случае расчеты ведутся по следующей формуле:

(11.17)

Поиск по сайту: