АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод Данилевского

Читайте также:
  1. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  2. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  3. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  4. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  5. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  6. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  7. I. Метод рассмотрения остатков от деления.
  8. I. Методические основы
  9. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов
  10. I. Организационно-методический раздел
  11. I. Предмет и метод теоретической экономики
  12. I. Что изучает экономика. Предмет и метод экономики.

Метод заключается в нахождении коэффициентов характеристического многочлена. В основе метода лежит преобразование подобия А=В-1СВ.

Суть метода состоит в преобразовании определителя D(λ)=|А-λЕ|= 0 к виду

 

Определитель легко раскрывается по первому столбцу . Рассмотрим алгоритм метода на примере матрицы третьего порядка . Сведем её (матрицу) к виду .

 

1. Делим элементы второго столбца на а320 (для общего случая делим предпоследний столбец на элемент этого столбца последней строки).

2. Из первого и третьего столбцов вычитаем второй столбец, умноженный соответственно на а31 и а33

.

 

Этот процесс эквивалентен умножению исходной матрицы справа на следующую матрицу:

 

Чтобы получить матрицу, подобную исходной мы должны слева умножить на обратную:

 

.

При этом получим

 

4. На следующем этапе преобразуем вторую строку путем умножения слева и справа на соответствующие матрицы:

 

 

Мы свели матрицу за два шага к форме , т.е. пришли к нормальной форме Фробениуса. В общем виде для матриц n порядка . Поскольку первая строчка в преобразованной матрице суть коэффициенты характеристического полинома, то теперь можем перейти к нахождению собственных чисел (корни характеристического полинома) и соответствующих им собственных векторов.

 

Предположим мы нашли собственные значения матрицы С и пусть y соответствующий собственный вектор Cy = λy. Тогда , следовательно By – собственный вектор матрицы А. Распишем матричное уравнение Cy = λy

 

 

Полагая имеем . Следовательно - собственный вектор для матрицы С. Умножим B на y получим By – собственный вектор матрицы А.

 

В общем виде алгоритм имеет n-1 шагов. На к- шагепроизводятся следующие действия:

  1. Элементы (к-1) - столбца делятся на ak,k-1
  2. Элементы остальных столбцов преобразуются по формулам (из j -столбца вычитается (k-1) -столбец, умноженный на ak,j) ai,j = ai,j - ai,k-1 ak,j

 

Метод Леверье и видоизменение Д.К. Фадеева

Метод заключается в нахождении коэффициентов характеристического многочлена.

По теореме Виетта в общем виде связь между корнями и коэффициентами полинома

 

 

Введем в рассмотрение следующие функции:

. Можно показать, что .

Воспользуемся известными рекуррентными соотношениями Ньютона:

,

Отсюда

 

Пример. Пусть k=2, n=3

Можем определить из рекуррентного соотношения коэффициенты , если известны sk (sk равны следу матрицы Ak), но при этом приходится возводить матрицу A в степень, а это процесс трудоемкий. Метод используется для матриц небольшого размера, хотя он мало чувствителен к частным особенностям матрицы.

Д. К. Фадеев усовершенствовал метод Леверье. Вместо возведения матрицы в степень предложено считать матрицы по следующим формулам (без доказательства):

, , ;

, , ;

……………………………………………………………….

 

, , ;

, ,

Матрица является союзной (присоединенной) матрицей, она состоит из алгебраических дополнений к матрице А.

Можно показать, что , тогда и подставляем в , тогда . Метод Фадеева позволяет найти обратную матрицу и её определитель.

При доказательстве этого метода используются рекуррентное соотношение Ньютона и теорема

Кели-Гамильтона.

Теорема Кели-Гамильтона. Если есть характеристический многочлен матрицы А, то , т.е. матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Пример:

Можно проверить, что .

 

Нахождение собственных векторов по методу Д.К. Фаддеева.

 

Раскрытие характеристического полинома для трехдиагональной матрицы

Симметричную матрицу с помощью преобразования подобия можно привести к трехдиагональному виду.

Для нахождения собственных значений приравниваем нулю определитель

 

 

Раскрываем этот определитель по элементам последней строки

(1)

Так как минор имеет следующий вид:

,

 

раскладываем последний минор по последнему столбцу и подставляем в Dn.

Таким образом, для нахождения собственных значений трехдиагональной матрицы используется рекуррентное соотношение (1).

Полагая (значение определителя не изменится), имеем уравнения

, корни которых и есть собственные значения трехдиагональной матрицы.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)