|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Задача КошиРЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид:
где )- производные первого, второго,..., n -го порядков от искомой функции y. Его решением является семейство функций y = y (x, a 1, a 2,..., a n), где a 1, a 2,..., a n - произвольные константы. Например, простейшее дифференциальное уравнение имеет решение y = a ex (рис.7.1). Каждому какому угодно значению параметра a соответствует своя функция, и все эти функции удовлетворяют исходному уравнению.
Если в дополнение к уравнению (7.1) задать конкретные значения для некоторого значения x 0 в виде
то тем самым определяется конкретный набор a 1, a 2,..., a n и, следовательно, единственная конкретная функция y (x, a 1, a 2,..., a n) из всего семейства решений. Условия (7.1') называются начальными условиями, а вся задача, включающая дифференциальное уравнение (7.1) и начальные условия (7.1'), называется "задачей Коши". К сожалению, класс дифференциальных уравнений, позволяющих аналитическими методами получить решение, довольно узок. Например, уравнение y ' = x 2 + y 2 не имеет аналитического решения. В большинстве практических задач функция F или коэффициенты, входящие в нее, могут содержать существенные нелинейности или даже задаваться в виде таблиц экспериментальных данных, и тогда аналитическое решение задачи Коши становится невозможным. При численном решении задачи Коши необходимо задаваться границами x нач, x кон изменения аргумента x и величиной h, являющейся шагом его изменения, который определяет дискретность вычисления значений функции y = y (x). Решение, полученное численным методом, есть таблица соответствующих значений (x i, y i), i = 0,1,2,..., n, где x 0= x нач, x n= x кон; x i+1 = x i + h (см.рис.7.2). Поскольку численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, то оно в течение многих лет было объектом пристального внимания и число разработанных для него методов очень велико. Здесь мы остановимся на следующих двух группах методов решения задачи Коши. 1. Одношаговые методы, в которых для нахождения каждой новой точки на кривой y = y (x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге-Кутта. 2. Методы прогноза и коррекции (многошаговые методы), в которых для отыскания каждой следующей точки кривой y = y (x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. К этой группе относятся методы Адамса, Гира и т.д. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |