АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнения, содержащие модуль

Читайте также:
  1. I. Організація та проведення модульного і підсумкового контролю
  2. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  3. АЗОТСОДЕРЖАЩИЕ ГЕТЕРОЦИКЛЫ.
  4. Азотсодержащие соединения
  5. АЗОТСОДЕРЖАЩИЕ СОЕДИНЕНИЯ.
  6. В. Уравнения, решаемые разложением на множители.
  7. Варіанти питань до модульної контрольної роботи
  8. Варіанти питань до модульної контрольної роботи
  9. Варіанти питань до модульної роботи
  10. Геометричне зображення комплексного числа. Модуль та аргумент комплексного числа
  11. ГЛОБАЛЬНЫЙ РАЗРУШИТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ
  12. Д.у.-2, не содержащие явно искомой функции

Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:

Пример 1

Решите уравнение |x – 5| – |2x + 8| = –12.

Решение

Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая: 1) x ≤ –4; 2) –4 < x ≤ 5; 3) x > 5. Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на каждом из трёх промежутков.
Рисунок 3.1.8.1

1. x ≤ –4. В этом случае 2x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно, С учётом этого уравнение принимает вид

 

x = –25 удовлетворяет ограничению x ≤ –4.

  1. –4 < x ≤ 5. Этот корень удовлетворяет нужным ограничениям.
  2. 3. x > 5. Этот корень не удовлетворяет нужным ограничениям.

Ответ. −25; 3.

 

Этот метод удобно применять, когда подмодульные выражения довольно просты (линейны), и можно сразу понять, где они обращаются в нуль. Рассмотрим простейшее уравнение с модулем вида

  |f (x)| = g (x), (9)

где функция f (x) проще функции g (x). Это уравнение равносильно следующей системе уравнений:

Убедиться в справедливости этого утверждения можно, перебрав все возможные варианты.

Если же под модулем стоит функция, найти корни которой затруднительно, то условие равносильности можно переписать так:

Пример 2

Решите уравнение 2|x2 + 2x – 5| = x – 1.

Решение

Этому уравнению соответствуют два уравнения 2(x2 + 2x – 5) = x – 1 и 2(x2 + 2x – 5) = 1 – x, среди корней которых нужно отобрать удовлетворяющие условию x ≥ 1. Имеем: 1. Корни этого уравнения и x = –3, из которых подходит первый корень. 2. Корни этого уравнения Опять подходит только первый корень, так как второй заведомо отрицателен. Ответ.

 

В случае вложенных знаков модуля применим этот метод несколько раз. Здесь тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений

которые можно переписать в виде

  (*)

Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два:

что приводит к четырём уравнениям:

Отсюда получаем 4 решения: среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть отрицательна.

Ответ. 3.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)