Характеристическое уравнение линейного оператора

Теорема 1. Если линейный оператор f в некотором базисе имеет

матрицу

А и в базисе матрицу В, то , где

- произвольное число, Е – единичная матрица порядка n.

Заметим, что является многочленом степени n относительно .

Определение: многочлен называется характеристическим многочленом

матрицы А или оператора f.

Определение: характеристическим уравнением линейного оператора f называется

уравнение , где А – матрица этого оператора в

некотором базисе.

Уравнение называется также характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами линейного оператора, аи также матрицы А.

Теорема 1. утверждает, что характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса.

Определение: Система всех характеристических чисел линейного оператора

называется его спектром.

Пусть линейный оператор f имеет в некотором базисе матрицу .

Характеристическим уравнением его будет следующее уравнение:

или, выполняя вычитание матриц,

.

Определение: решения этого уравнения называются собственными

числами матрицы А.

Каждому собственному числу соответствует набор векторов, называемых собственными векторами, они удовлетворяют уравнению . Заметим, что если - собственный вектор, соответствующий собственному числу , то этому же числу соответствует вектор вида , где - произвольное число

Поиск по сайту: