АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод Гаусса. Метод Гаусса используется, когда система имеет большое число уравнений и заключается в последовательном исключении неизвестных

Читайте также:
  1. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  2. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  3. I. Методические основы
  4. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов
  5. I. Предмет и метод теоретической экономики
  6. I. Что изучает экономика. Предмет и метод экономики.
  7. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  8. II. Метод упреждающего вписывания
  9. II. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
  10. II. Методы непрямого остеосинтеза.
  11. II. Проблема источника и метода познания.
  12. II. Рыночные методы.

Метод Гаусса используется, когда система имеет большое число уравнений и заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными:

Допустим, что 0.

Первый шаг: делим уравнение (1) на , умножим полученное уравнение на и вычитаем из2-го, затем умножим на и вычтем из 3-го, наконец умножим на и вычтем из 4-го. В результате первого шага приходим к системе

 

где = ; = ; = ; = ;

= - ; = - ; = - ; = - ;

= - ; = - ; = - ; = - ;

= - ; = - ; = - ; = - .

Отсюда видим, что введенные нами коэффициенты получаются из коэффициентов системы по следующим формулам:

= ;

= - = - ;

= - = - ; i = 2, 3, 4; j = 2, 3, 4.

Второй шаг: поступаем с уравнениями 6, 7, 8 точно так же, как с уравнениями 1, 2, 3, 4 и т.д. В итоге исходная система преобразуется к «ступенчатому» виду:

Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда.

На практике удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.

Пример: Решить систему уравнений

Решение: Преобразуем матрицу

А = .

Первую строку умножим соответственно на -1, 2, 3, вычтем из второй, третьей и четвёртой строк:

А ~ .

Вторую строку прибавим к третьей и четвёртой строкам:

А ~ .

Третью строку, умноженную на , вычтем из четвёртой:

А ~ , А = .

Получим rang A = rang А , следовательно система совместна и имеет единственное решение. Исходную систему можно теперь записать через эквивалентную в виде:

Порядок действий при решении этой системы очевиден. Последнее уравнение даёт = -5, подставив это значение в третье уравнение, получим = 0, второе уравнение даёт = 4, наконец, из первого уравнения найдём

= 2. Итак, решением данной системы является = 2, = 4, = 0, = -5.

Пример: Решить систему уравнений

Решение: Запишем матрицу

А = .

Здесь 6-ой, так называемый контрольный столбец, каждым элементом которого является сумма пяти элементов данной строки. Контрольный столбец служит для проверки правильности элементарных преобразований.

Преобразуем матрицу в эквивалентную

А ~ .

(Преобразование матрицы проведите самостоятельно).

Запишем эквивалентную систему уравнений

Из 4-го уравнения = 4, из 3-го уравнения находим = 3, из 2-го = 2, из 1-го = 1, т.е. решением данной системы является = 1, = 2, = 3, = 4.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)