АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Нормы векторов и матриц

Читайте также:
  1. I. Определение ранга матрицы
  2. II. Умножение матрицы на число
  3. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
  4. III. Векторное произведение векторов, заданных координатами
  5. III. Произведение матриц
  6. MathCad: понятие массива, создание векторов и матриц.
  7. Nikon D7100 - матрица APS-C в идеальном оформлении
  8. SWOT- анализ и составление матрицы.
  9. SWOT- матрица
  10. V2: ДЕ 14 – Векторные пространства. Коллинеарность векторов.
  11. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  12. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц

Вычислительные методы линейной алгебры

Вычислительные методы линейной алгебры изучают численные методы решения следующих задач:

1) Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

2) Вычислить определитель квадратной матрицы A.

3) Для данной квадратной матрицы A найти обратную A –1.

4) Определить собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы A.

Нормы векторов и матриц

Приведем определения норм векторов и матриц [1]. Пусть задан вектор x = (x 1, x 2, …, xn) T. Наиболее часто для векторов используются следующие нормы:

 

(3.1)

(3.2)

(3.3)

 

Норма (3.3) порождена скалярным произведением векторов

 

.

 

Для скалярного произведения справедливы следующие соотношения:

 

.

 

Если A симметричная матрица, то (A x, y) = (x, A y).

Определение 3.1. Нормой матрицы A называется число

 

. (3.4)

 

Согласованные с нормами векторов (3.1) — (3.3) нормы матриц определяются формулами

 

(3.5)

(3.6)

(3.7)

 

Здесь — собственные значения матрицы ATA, которая является симметричной. Чтобы обосновать формулу (3.7) рассмотрим определение нормы матрицы (3.4):

 

 

Можно доказать [1], что для симметричной матрицы B верно соотношение

, (3.8)

 

где λ i — собственные значения матрицы B. Отсюда следует формула (3.7).

Пример 3.1. Вычислить нормы || x ||1, || x ||2, || x ||3 вектора x = (1, 2, – 3)T.

Решение. Пользуясь определениями норм (3.1) — (3.3), вычислим

 

Пример 3.2. Вычислить нормы || A ||1, || A ||2, || A ||3 матрицы

 

 

Решение. По формулам (3.5), (3.6) находим нормы матриц

 

 

Чтобы вычислить норму матрицы по формуле (3.7) необходимо найти собственные значения матрицы, полученной умножением транспонированной матрицы AT на данную матрицу A:

 

.

 

Не вдаваясь пока в подробности методов вычисления собственных значений матриц, вычислим в программе Mathcad собственные значения матрицы с помощью функции eigenvals:

 

 

 

Теперь мы можем вычислить норму матрицы по формуле (3.7):

 

 

Определение 3.2. Две нормы || x ||α и || x ||β называются эквивалентными, если существуют постоянные γ1 и γ2 такие, что при всех x ≠ 0 справедливы соотношения

|| x ||α/|| x ||β ≤ γ1, || x ||β /|| x ||α ≤ γ2.

 

Нормы || x ||1, || x ||2, || x ||3 эквивалентны между собой, так как выполняются неравенства [1]

|| x ||1 ≤ || x ||3 ≤ || x ||2n || x ||1.

 

Из эквивалентности норм || x ||1, || x ||2, || x ||3 следует, что, если последовательность векторов сходится по одной из этих норм, то она сходится и по остальным нормам.

Ниже мы будем подразумевать под нормой || x || одну из указанных норм, а при необходимости конкретизировать, какую именно. При этом будем под нормой матрицы подразумевать норму, согласованную с нормой вектора.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)