ÀâòîÀâòîìàòèçàöèÿÀðõèòåêòóðàÀñòðîíîìèÿÀóäèòÁèîëîãèÿÁóõãàëòåðèÿÂîåííîå äåëîÃåíåòèêàÃåîãðàôèÿÃåîëîãèÿÃîñóäàðñòâîÄîìÄðóãîåÆóðíàëèñòèêà è ÑÌÈÈçîáðåòàòåëüñòâîÈíîñòðàííûå ÿçûêèÈíôîðìàòèêàÈñêóññòâîÈñòîðèÿÊîìïüþòåðûÊóëèíàðèÿÊóëüòóðàËåêñèêîëîãèÿËèòåðàòóðàËîãèêàÌàðêåòèíãÌàòåìàòèêàÌàøèíîñòðîåíèåÌåäèöèíàÌåíåäæìåíòÌåòàëëû è ÑâàðêàÌåõàíèêàÌóçûêàÍàñåëåíèåÎáðàçîâàíèåÎõðàíà áåçîïàñíîñòè æèçíèÎõðàíà ÒðóäàÏåäàãîãèêàÏîëèòèêàÏðàâîÏðèáîðîñòðîåíèåÏðîãðàììèðîâàíèåÏðîèçâîäñòâîÏðîìûøëåííîñòüÏñèõîëîãèÿÐàäèîÐåãèëèÿÑâÿçüÑîöèîëîãèÿÑïîðòÑòàíäàðòèçàöèÿÑòðîèòåëüñòâîÒåõíîëîãèèÒîðãîâëÿÒóðèçìÔèçèêàÔèçèîëîãèÿÔèëîñîôèÿÔèíàíñûÕèìèÿÕîçÿéñòâîÖåííîîáðàçîâàíèå×åð÷åíèåÝêîëîãèÿÝêîíîìåòðèêàÝêîíîìèêàÝëåêòðîíèêàÞðèñïóíäåíêöèÿ

ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ

×èòàéòå òàêæå:
  1. I. Ñîñòàâëåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è îïðåäåëåíèå ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé
  2. I.ÑÈÑÒÅÌÛ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ. ÌÅÒÎÄ ÃÀÓÑÑÀ
  3. MathCad: ñïîñîáû ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé.
  4. V2: ÄÅ 53 - Ñïîñîáû ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
  5. V2: ÄÅ 55 - Ðåøåíèå ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ñî ñïåöèàëüíîé ïðàâîé ÷àñòüþ
  6. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì Æîðäàíà-Ãàóññà
  7. Á1 1.Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÓ). Òåîðåìà Êðîíèêåðà-Êàïåëëè. Îáùåå ðåøåíèå ÑËÓ.
  8. Áèëåò 30 Ïðèâèäåíèå óðàâíåíèé ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ê êàíîíè÷åñêîó âèäó
  9. Áèëåò25 Êëàññèôèêàöèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïî ÷èñëó ðåøåíèé, ñòóïåí÷àòûé âèä ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòåìû â êàæäîì ñëó÷àè.
  10. Âèäû óðàâíåíèé ïðÿìîé: âåêòîðíîå, ïàðàìåòðè÷åñêîå è êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå.
  11. Âòîðîå âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî - ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ ìåíÿþò âèä óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà

Çàäà÷à 1. Íàéòè ðàíã ìàòðèöû À ìåòîäîì îêàéìëÿþùèõ ìèíîðîâ:

A = .

Ðåøåíèå. Ðàíã ìàòðèöû ðàâåí íàèâûñøåìó ïîðÿäêó îòëè÷íîãî îò íóëÿ ìèíîðà äàííîé ìàòðèöû. Ïðè âû÷èñëåíèè ðàíãà ìàòðèöû ìåòîäîì îêàéìëÿþùèõ ìèíîðîâ ñëåäóåò ïåðåõîäèòü îò ìèíîðîâ ìåíüøèõ ïîðÿäêîâ ê ìèíîðàì áîëüøèõ ïîðÿäêîâ. Åñëè óæå íàéäåí ìèíîð ê-ãî ïîðÿäêà Ì, îòëè÷íûé îò íóëÿ, òî âû÷èñëÿþò ëèøü ìèíîðû (ê+1)-ïîðÿäêà, îêàéìëÿþùèå ìèíîð Ì è åñëè âñå îíè ðàâíû íóëþ, òî ðàíã ìàòðèöû À ðàâåí ÷èñëó ê.

Ìèíîð âòîðîãî ïîðÿäêà M= 0. Âû÷èñëèì ìèíîðû òðåòüåãî ïîðÿäêà, îêàéìëÿþùèå ìèíîð Ì. Èõ áóäåò òðè

M1= =0, M2= = =0,

M3= = = 0.

Èòàê, ïîëó÷èëè, ÷òî ðàíã ìàòðèöû À ðàâåí 2, îáîçíà÷èì r (À) =2.

Ïðèìå÷àíèå. Âñåãî â ìàòðèöå À äåñÿòü ìèíîðîâ òðåòüåãî ïîðÿäêà, . Ìåòîä ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî âñå ýòè 10 ìèíîðîâ ðàâíû íóëþ (åñëè îêàéìëÿþùèå ìèíîðû ðàâíû íóëþ).

Çàäà÷à 2. Âû÷èñëèòü ðàíã ìàòðèöû À ïðèâåäåíèåì ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó:

A = .

Ðåøåíèå. Ïðèáàâëÿåì â ýòîé ìàòðèöå êî âòîðîé ñòðîêå ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà (–3), ê òðåòüåé ñòðîêå ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà (–3) è ê ÷åòâåðòîé ñòðîêå ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà (–1), ïðèäåì ê ìàòðèöå:

.

 íîâîé ìàòðèöå ïðèáàâëÿåì ê ÷åòâåðòîé ñòðîêå òðåòüþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà (–1), à ê òðåòüåé ñòðîêå âòîðóþ, óìíîæåííóþ íà (–1), ïîëó÷èì ñòóïåí÷àòóþ ìàòðèöó:

.

 ýòîé ìàòðèöå ÷èñëî íåíóëåâûõ ñòðîê ðàâíî 3 è ïîýòîìó ðàíã ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû ðàâåí 3 è îí ðàâåí ðàíãó ìàòðèöû À, ò.å. r (À)=3.

 

Çàäà÷à 3. Äëÿ ìàòðèöû À íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó À –1 äâóìÿ ñïîñîáàìè:

À = .

Ðåøåíèå. 1 ñïîñîá. Äëÿ ìàòðèöû À îáðàòíàÿ ìîæåò áûòü íàéäåíà òàêèì îáðàçîì:

À–1= À * (1), ãäå À * – ýòî ïðèñîåäèíåííàÿ ìàòðèöà ê ìàòðèöå À è

À *= ,

ãäå Àij – àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà àij ìàòðèöû À.

Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû À= 1≠0, ò.å. ìàòðèöà íåâûðîæäåííàÿ.

À11= =0, À12=– =0, À13= =1, À21=– =2, À22= =–1,

À23=– =–1, À31= =–1, À32= – =1, À33= =–1.

Ò.å. ïî ôîðìóëå (1):

À–1= .

2 ñïîñîá. Ïðèïèñûâàåì ê ìàòðèöå À ñëåâà åäèíè÷íóþ ìàòðèöó, çàòåì ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ïðèâîäèì ìàòðèöó À ê åäèíè÷íîé, îäíîâðåìåííî âûïîëíÿÿ ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ è íàä åäèíè÷íîé ìàòðèöåé. Ìàòðèöà, ïîëó÷åííàÿ âìåñòî åäèíè÷íîé ìàòðèöû è áóäåò èñêîìîé ìàòðèöåé À –1:

.

Èòàê À –1= , òàêæå êàê è â ïåðâîì ñïîñîáå. Ïðîâåðêà: À–1À=ÀÀ–1.

Çàäà÷à 4. Ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ÀÕ+–1,

ãäå À= , Â= , Ñ=

Ðåøåíèå. Èç óðàâíåíèÿ ÀÕ+–1, èìååì ÀÕ=Ñ– –1 , Õ= À–1 (Ñ– –1),

íàõîäèì, –1= , çàòåì Ñ– –1= = ,

Çàäà÷à 5. Ðåøèòü ñëåäóþùèå ñèñòåìû, çàäàííûå ðàñøèðåííûìè ìàòðèöàìè ìåòîäîì Ãàóññà (ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ):

à) Ã = , (1); á) Ã = , (2);

â) Ã = , (3).

Ðåøåíèå. à) ïðèâîäèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó à ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó, òåì ñàìûì â ñèñòåìå (1) ïîñëåäîâàòåëüíî èñêëþ÷àåì íåèçâåñòíûå – âî âòîðîì óðàâíåíèè íåèçâåñòíîå õ 1, â òðåòüåì óðàâíåíèè íåèçâåñòíûå õ 1 è õ 2, à â ÷åòâåðòîì óðàâíåíèè íåèçâåñòíûå õ 1, õ 2 è õ 3.

Ã

 

,

ïðèâåäÿ à ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó, ïîëó÷èëè, ÷òî r (À)= r (Ã)=4, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà ñîâìåñòíà è îïðåäåëåíà.

Ñèñòåìà (1) ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå:

,

èç êîòîðîé íàõîäèì, ÷òî õ 4=2, õ 3= –2, õ 2=3, õ 1= –1. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå ñèñòåìû (1) – ÷åòâåðêà ÷èñåë: (õ 1, õ 2, õ 3, õ 4)=(–1, 3, –2, 2);

á)

à ,

 

r (À)= r (Ã)=2, ñèñòåìà ñîâìåñòíà è íåîïðåäåëåííà. Ñèñòåìà (2) ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå:

,

â êîòîðîé õ 1, õ 2 ìîæíî îáúÿâèòü ãëàâíûìè íåèçâåñòíûìè, à õ 3, õ 4 – ñâîáîäíûìè íåèçâåñòíûìè è âûðàçèòü îäíîçíà÷íî ãëàâíûå íåèçâåñòíûå ÷åðåç ñâîáîäíûå, ïîëó÷èâ îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (2). Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (2) áóäåò (–26 õ 3+ +17 õ 4+6, 7 õ 3–5 õ 4–1, õ 3, õ 4), ãäå õ 3, õ 4 ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ.

Ïðèìå÷àíèå. Ïðèäàâàÿ ñâîáîäíûì íåèçâåñòíûì êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ, ìû ìîæåì íàéòè áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷àñòíûõ ðåøåíèé.

Ñ) Ã , r (À)=3, r (Ã)=4, ïîýòîìó ñèñòåìà íåñîâìåñòíà.

Çàäà÷à 6. Ðåøèòü äàííóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà Êðàìåðà:

Ðåøåíèå. Îïðåäåëèòåëü

,

ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Êðàìåðà ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Âû÷èñëèì îïðåäåëèòåëè ìàòðèö , ïîëó÷åííûå èç ìàòðèöû A çàìåíîé, ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ñòîëáöîâ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ:

Òåïåðü ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà

Îòâåò: (1;0;2).

Çàäà÷à 7. Ðåøèòü äàííóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì îáðàòíîé ìàòðèöû:

.

Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì

Òîãäà â ìàòðè÷íîé ôîðìå ñèñòåìà èìååò âèä: Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ò.å. îáðàòíàÿ ìàòðèöà ñóùåñòâóåò. Íàéäåì ìàòðèöó : .

Òåïåðü ïî ôîðìóëå ïîëó÷àåì

.

Îòâåò: (0;1;-3).

Çàäà÷à 8. Èññëåäîâàòü ñèñòåìó è íàéòè îáùåå ðåøåíèå â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ê:

.

Ðåøåíèå. Íàéäåì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû À:

| A |=

=(ê +2)(ê –1)2:

1) åñëè (ê+2)(ê–1)2≠0, òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå è åãî ìîæíî íàéòè ïî ïðàâèëó Êðàìåðà.

| A1|= , |A2|= ,|A3|= ,

òîãäà ïîëó÷èì õ 1= õ 2= õ 3= ;

2) åñëè À =0, ò.å. ê= –2 èëè ê =1:

à) ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà ê = –2. Òîãäà íàøåé ñèñòåìå ñîîòâåòñòâóåò ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà

,

ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè ê =–2, r (À)=2, r (Ã)=3, ò.å. â ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà íåñîâìåñòíà;

á) ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ê =1: ñèñòåìà (1) ïðèíèìàåò âèä: õ 1+ õ 2+ õ 3=1, r (À)= r (Ã)=1. Îäíî íåèçâåñòíîå – õ 1 ìîæåì îáúÿâèòü ãëàâíûì, õ 2, õ 3 – ñâîáîäíûìè è èìååì îáùåå ðåøåíèå (1– õ 2õ 3, õ 2, õ 3), ãäå õ 2, õ 3 ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ê =1 ñèñòåìà ñîâìåñòíà è íåîïðåäåëåííà.

Çàäà÷à 9. Íàéòè ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé ñèñòåìû îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé:

.

Ðåøåíèå. Êàæäîå ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû (õ 1, õ 2, õ 3, õ 4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþ ÷åòûðåõìåðíóþ ñòðîêó, èëè ÷åòûðåõìåðíûé âåêòîð.

Ïî îïðåäåëåíèþ íåñêîëüêî ðåøåíèé îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó, åñëè: 1) ýòè ðåøåíèÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìû; 2) ëþáîå ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè.

Îäèí èç ñïîñîáîâ íàõîæäåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.

Íàõîäèì ñíà÷àëà îáùåå ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Äàëåå âûáèðàåì îäíî èç ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ è ïîëàãàåì åãî ðàâíûì 1, îñòàëüíûå ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå áåðåì ðàâíûìè íóëþ, ïîñëå ÷åãî îïðåäåëÿåì çíà÷åíèÿ âñåõ îñòàëüíûõ íåèçâåñòíûõ. Òàêèì ïóòåì ìû ïîëó÷àåì íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû.

Âûáèðàÿ äðóãîå ñâîáîäíîå íåèçâåñòíîå (è ñíîâà ïîëàãàÿ åãî ðàâíûì åäèíèöå, à îñòàëüíûå ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå – íóëþ), ïîëó÷èì äðóãîå ÷àñòíîå ðåøåíèå. Ïîñòðîåííûå òàêèì îáðàçîì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ (÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî ÷èñëó ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ) îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé.  äàííîì ñëó÷àå îáùåå ðåøåíèå (íàéäåííîå ìåòîäîì Ãàóññà) èìååò âèä: (õ 1, õ 2, (–5/2) õ 1+5 õ 2, (7/2) õ 1–7 õ 2).

Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé: (1, 0, –5/2, 7/2), (0, 1, 5, –7), ëþáîå ðåøåíèå (õ 1, õ 2, õ 3, õ 4) äàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè:

ñ1(1, 0, –5/2, 7/2)+ñ2(0, 1, 5, –7), ãäå ñ1= õ 1, ñ2= õ 2.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Ïîèñê ïî ñàéòó:



Âñå ìàòåðèàëû ïðåäñòàâëåííûå íà ñàéòå èñêëþ÷èòåëüíî ñ öåëüþ îçíàêîìëåíèÿ ÷èòàòåëÿìè è íå ïðåñëåäóþò êîììåð÷åñêèõ öåëåé èëè íàðóøåíèå àâòîðñêèõ ïðàâ. Ñòóäàëë.Îðã (0.01 ñåê.)