|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. (Угол всегда острый)13.2 Пусть прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость общим уравнением . Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю – условие параллельности прямой и плоскости Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны – условие перпендикулярности прямой и плоскости 13.3 1. Прямая принадлежит плоскости, если две точки этой прямой принадлежат этой плоскости. 14. Понятие матрицы. Различные виды матриц. Действия над матрицами. Матрицей называется прямоугольная таблица образованная из элемента некоторого множества и состоящая из некоторого количества M – строк и некоторого количества N – столбцов. Числа M и N называются порядком матрицы. Если матрица является квадратной то транспонированная матрица получается путем поворота вокруг диагонали.
Матрица размера называется квадратной, число называется порядком матрицы. Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. . Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой. Действия над матрицами:
15. Понятие определителя. Свойства определителей.
Квадратной матрице -го порядка ставиться в соответствие число , называемое определителем матрицы или детерминантом. Свойства: 2° Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя. 3° То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц. 4° Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем. 5° Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак. 6° Определитель с двумя равными строками равен нулю. 7° Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю. 8° Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю. 9° Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. 10° Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов. 11° Определитель произведения матриц равен произведению определителей: 16. Миноры и их алгебраические дополнения. Ранг матрицы. Разложения определителя по элементам строки и по элементам столбца. Минором элемента матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1) -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n -го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца: Рангом матрицы называется ранг её системы строк или столбцов. Обозначается На практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду. Раскладывается по формуле:
17. Обратная матрица, условия её существования. Вычисление обратной матрицы. Преобразование матриц. Ступенчатая матрица. Пусть — квадратная матрица порядка . Матрица , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей равенствам:
Вычисление обратной матрицы: Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратная матрица матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1 и вычисляется по формуле , где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j матрицы A.. Преобразование матриц: 2)Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля 3)Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число 18. Системы линейных уравнений. Матричная запись системы. Основные понятия. Системой линейных уравнений (л.у.) над называется совокупность (набор) из нескольких уравнений от одного и того же набора переменных (неизвестных) : Матричная запись системы: где Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу называют расширенной матрицей системы, а матрицу для которой AС = В, - вектор-решением системы.
19. Отыскание решения линейной системы уравнений (правило Крамера, метод Гаусса) Правило Крамера
Если m = n система квадратная, если основная матрица системы является не вырожденной, то система имеет единственное решение которое определяется по формуле Крамора: Метод Гаусса: Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему. Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов: 1. Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная xi входит с коэффициентом 1; 2. Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной xi в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной xi, и равносильную исходной; 3. Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше; 4. Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна. В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая: 1. Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена; 2. Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.
20. Определение линейного пространства. Понятие подпространства и линейной оболочки. Примеры линейных пространств и подпространств. Линейным (векторным) пространством называется множество произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам и поставлен в соответствие вектор , называемый суммой векторов и , любому вектору и любому числу из поля действительных чисел поставлен в соответствие вектор , называемый произведением вектора на число Линейная оболочка— подмножества X линейного пространства L пересечение M всех подпространств L, содержащих X 21. Понятие линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Примеры. Три теоремы о линейной зависимости элементов. Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что
Система из столбцов называется линейно независимой, если равенство возможно только при
Пример: Решение. 1) Столбцы линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами , которая равна нулевому столбцу:.
2) Столбцы линейно независимы, так как равенство равносильное системе оказывается верным только при .
22. Размерность и базис линейного пространства. Теорема о разложении элемента пространства по данному базису и о единственности такого разложения. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима Теорема. Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису. Доказательство. Пусть - базис n-мерного векторного пространства. Добавим к этим векторам n-мерный вектор x. Тогда полученная система векторов будет линейно зависимой и вектор x может быть линейно выражен через векторы : , где - некоторые числа. Так мы получили разложение вектора x по базису. Осталось доказать, что это разложение единственно. Предположим, что существует еще одно разложение , где - некоторые числа. Отнимем от левой и правой частей последнего равенства соответственно левую и правую части равенства : Так как система базисных векторов линейно независима, то поопределению линейной независимости системы векторов полученное равенство возможно только тогда, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому, , что доказывает единственность разложения вектора по базису
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.011 сек.) |