|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператораПонятие линейного оператора. Матрица линейного оператора 2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора Понятие линейного оператора – одно из фундаментальных понятий в матричной алгебре. Рассмотрим два линейных пространства: размерности n и размерности m. Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) , действующий из в , и записывают y= . Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов x и y пространства и любого числа выполняются соотношения: 1. – свойство аддитивности оператора; 2. – свойство однородности. Вектор y= называется образом вектора х, а сам вектор х – прообразом вектора y. Если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя. Такие операторы мы и будем рассматривать. Выберем в пространстве базис . Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства. Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг r матрицы А – рангом оператора . С помощью матрицы оператора для любого вектора х можно найти его образ – вектор y, используя матричное уравнение y=Ax. (1) Пример. Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти образ y= вектора . Решение. По формуле (1) имеем . Таким образом, . Действия над линейными операторами: 1. Суммой двух линейных операторов и называется оператор ( + ), определяемый равенством: ( + )(x)= + . 2. Произведением линейного оператора на число , называется оператор , определяемый равенством: ()(х)= (). 3. Произведением линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством: ( )(х)= ( ( х)). Определим нулевой оператор , переводящий все векторы пространства в нулевые векторы (х)=0, и тождественный оператор , действующий по правилу: (х)=х.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |