АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Достаточное

Читайте также:
  1. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость и непрерывность.
  2. Определение дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Непрерывность дифференцируемой функции.
  3. При обследовании отоларингологом у больного выявили недостаточное расширение голосовой щели при фонации, что связали с функциональной недостаточностью одной из мышц гортани.
  4. Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

Если f(x) – дифференцируема на x и:

а) f `(x) > 0, x – принадлежит множеству X, то f(x) – возрастает;

б) f `(x) < 0, x – принадлежит множеству X, то f(x) - убывает

46. Экстремум дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.

Точка xo называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если существует b > 0

f (xo) ≥ f(x)

любой x принадлежит промежутку (xo – b, xo + b)

Точка минимума: f(xo) ≤ f(x)

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

 

Необходимое условие экстремума: Если функция y =f(x) в точке х0 имеет экстремум, то производная f `(x 0 ) = 0

1-ое достаточное условие экстремума: Пусть f(x) – дифференцируема на интервале X. Если f `(x) меняет знак при переходе через точку xo, принадлежащей интервалу X

1) С “+” на “-”, то xo – точка максимума.

2) С “-” на “+”, то xo – точка минимума.

2-ое достаточное условие экстремума: Пусть f(x) – дважды дифференцируема x, f `(xo) = 0. Если f ``(xo) > 0, то xo точка минимума, если f ``(xo) < 0, то xo – точка максимума.

 

47. Теорема (второе достаточное условие экстремума).

Пусть f(x) – дважды дифференцируема x, f `(xo) = 0. Если f ``(xo) > 0, то xo точка минимума, если f ``(xo) < 0, то xo – точка максимума.

 

Доказательство: Так как f ``(xo) > 0, то существует окрестность (xo – b, xo + b), в которой f ``(x) > 0. По теореме о достаточном условии возрастании\убывании функции f `(x) возрастает в этой окрестности. Так как f `(x) = 0, то f `(x) < 0 любой x, принадлежащий промежутку (xo – b, xo) и f `(x) > 0 любой x, принадлежащий промежутку (xo, xo + b). По 1-ому достаточному условию экстремума xo – точка минимума. Аналогично случай f ``(x) < 0.

 

 

48. Выпуклость функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.

Функция f(x) выпукла вниз на интервале X, если график f(x) расположен выше любой касательной в точке из X и f(x) выпукла вверх на X, если график расположен ниже любой касательной.

 

Точка перегиба - точка, в которой функция меняет выпуклость.

 

Необходимое условие выпуклости: Если f ``(x) > 0 на интервале X, то f(x) вогнута, если f ``(x) < 0, то f(x) выпукла.

Достаточные условия наличия перегиба:

1. Если f ``(x) меняет знак при переходе через точку x o, то xo - точка перегиба.

2. Если то при n четном xo - точка перегиба, при n нечетном xo не является точкой перегиба.

 

49. Асимптоты графика функций.

Асимптотой графика функции f(x) называется такая прямая, что расстояние от точки (x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

 

1) Вертикальные асимптоты. Замечание: вертикальная асимптота x = xo ищется среди точек разрыва 2-го рода.

y = x = 0 – вертикальная асимптота

y = x = 0 асимптота

y = x = 0 НЕ асимптота

 

2) Вертикальные асимптоты y = kx + b

Наклонная асимптота y = kx + b при k = 0 называется горизонтальной

 

 

50. Формула Тейлора для многочлена и произвольной функции. Формула Маклорена для основных элементарных функций ex, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)p, 1/(1-x).

 

Формула Тейлора для многочлена:

 

Формула Тейлора для произвольной функции:

 

Формулы Маклорена:

ex = 1 + + 0(xn)

 

sinx = x - 0 (x2n + 1)

cosx = 1 - + 0 (x2n)

lnx = + 0 (xn)

(1 + x)p = 1 + px + x2 +... + xn + 0(xn)

= 1 + x + x2 +... + xn + 0(xn)

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)