АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Производные от неявных функций

Читайте также:
  1. Ms Excel: мастер функций. Логические функции.
  2. V2: ДЕ 35 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производные высший порядков
  3. Автоматизация функций в социальной работе
  4. Алгоритм построения графиков функций вида
  5. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛИСТОВ ПО СТРАТЕГИЧЕСКОМУ МЕНЕДЖМЕНТУ И ПОЛНОМОЧИЙ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИИ, ПРИНИМАЮЩИХ СТРАТЕГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.
  6. Анализ функций управления
  7. Б) Вычисление тригонометрических функций.
  8. Ввод функций вручную
  9. Взаимная ортогональность собственных функций эрмитовых операторов
  10. Взаимосвязь правопорядка и функций государства
  11. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
  12. Вопрос 17 Принципы,функций и формы оплаты труда

Начнем с неявной функции одного переменного. Мы уже решали задачу о дифференцировании неявной функции одного переменного, но были рассмотрены лишь отдельные примеры. Сейчас же мы получим общую формулу, дающую производную от неявной функции одного переменного, и выясним условия существования этой производной.

Теорема. Пусть непрерывная неявная функция от задается уравнением:

где непрерывные функции в некоторой области содержащей точку координаты которой удовлетворяют уравнению кроме того, в этой точке Тогда функция от имеет производную:

Доказательство. Пусть некоторому значению соответствует значение функции При этом Дадим независимому переменному приращение Функция получит приращение т.е. значению аргумента соответствует значение функции В силу уравнения будем иметь:

Следовательно,

Левую часть последнего равенства, являющуюся полным приращением функции двух переменных, можно переписать так:

где и при и

Так как левая часть равна нулю, можно написать:

Разделим на и вычислим

Устремим к нулю. Тогда, учитывая, что при этом и также стремятся к нулю и что в пределе получим:

Пример. Уравнение определяет как неявную функцию от Здесь

Следовательно,

Рассмотрим теперь уравнение вида:

Если паре чисел из некоторой области соответствует одно или несколько значений удовлетворяющих уравнению то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций от и

Найдем частные производные и неявной функции от и определяемой уравнением Когда мы ищем мы считаем постоянным, поэтому здесь применима формула если только независимым переменным считать а функцией

Следовательно, Аналогично

Предполагается, что

Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)