На чем “стоит“ теория электрических цепей

Основным средством математического описания электрических цепей (получения математической модели) являются законы Кирхгофа. Первый из них определяет сумму токов в точке разветвления

(3)

и по своей сути является следствием фундаментального закона природы – закона сохранения электрического заряда.

Второй закон Кирхгофа, по сути является законом электрического равновесия – в любом замкнутом контуре сумма напряжений (падений напряжений) равна сумме эдс:

. (4)

Выражения (3) и (4) записаны для мгновенных значений величин. Существует несколько форм записи уравнений по законам Кирхгофа, зависящих от режима работы электрической цепи. На рис. 1.3 приведена краткая классификация электрических цепей, режимов их работы и способов математического описания.

Основываясь на двух законах Кирхгофа, цепь может быть описана системой уравнений относительно неизвестных величин (чаще всего токов). Для цепи, содержащей q узлов и m ветвей, в простейшем случае необходимо составить для токов q – 1 уравнений по первому закону Кирхгофа и остальные (до числа неизвестных m – q – 1) – по второму закону Кирхгофа.

В теории линейных цепей обычно рассматривают следующие наиболее распространенные режимы работы: режим постоянного тока, установившийся синусоидальный режим, переходный режим. Рассмотрим процесс получения математических моделей для этих режимов на конкретном “живом“ примере (рис. 1.4).

В схемах рис. 1.4 три ветви, два узла и, следовательно, три неизвестных тока. Это значит, что относительно токов составляется одно уравнение по первому, и два уравнения по второму закону Кирхгофа.

Для рис. 4 а (общий случай, математическая модель для мгновенных значений) имеем:

;

(5)

Для режима постоянного тока (рис. 1 б) достаточно рассмотреть систему (5) для частного случая, когда I₃ = 0; а I₁ = I₂ = U₀/(r₁+r₂).

(6)

Для установившегося синусоидального режима (символическая форма):

I₁ – I₂ – I₃ = 0,

I₁ ∙ Z ₁+ I₃Z ₃ = U, (7)

– I₂ ∙ Z ₂+ I₃Z ₃ = U,

где Z ₁ = r₁ + jωL₁; Z ₂ = r₂ + jωL₂; Z ₃ = r₃ + 1/jωС₃ – комплексное изображение сопротивлений;

U = U_m/2^0.5∙exp(j∙φ) – комплексное изображение напряжения источника u(t) = U_m∙sin(ω∙t+ φ);

– мнимая единица.

Рис. 1.4. Схемы замещения цепи для: а) общий случай (переходный режим); б) режим постоянного тока u(t) = U₀ = const; в) установившийся синусоидальный режим u(t) = U_m∙sin(ωt), когда синусоидальные функции (токи, напряжения) представлены их комплексными изображениями.

В любом случае число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов, причем, по первому закону Кирхгофа составляется уравнений на одно меньше, чем число узлов. Для сравнительно простых цепей (несколько ветвей) уравнения составляются непосредственно. Для сложных, “запутанных“ цепей система уравнений составляется с использованием теории графов. Кроме того, для снижения числа уравнений часто прибегают к использованию специально разработанных методов (метод узловых потенциалов, метод контурных токов и др.).

Между магнитной и электрической цепью существует аналогия. Электрическому току i ставится в соответствие магнитный поток Ф, напряжению i∙r – магнитное напряжение H∙l и использовать законы Кирхгофа для магнитных цепей: и , то магнитная цепь описывается системой уравнений, аналогичной электрической цепи.

Поиск по сайту: