АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Обмежені й необмежені послідовності

Читайте также:
  1. Монотонні послідовності.

Вступ до математичного аналізу.

Числова послідовність.

Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то говорять, що задано послідовність

x 1, х 2, …, хn = { xn }

 

Загальний елемент послідовності є функцією від n.

xn = f (n)

У такий спосіб послідовність може розглядатися як функція.

Задати послідовність можна різними способами – головне, щоб був зазначений спосіб одержання будь-якого члена послідовності.

 

Приклад. { xn } = {(–1) n } або { xn } = –1; 1; –1; 1; …

{ xn } = {sin p n /2} або { xn } = 1; 0; 1; 0; …

 

Для послідовностей можна визначити наступні операції:

 

1) Множення послідовності на число m: m { xn } = { mxn }, тобто mx1, mx2, …

2) Додавання (вирахування) послідовностей: { xn } ± { yn } = { xn ± yn }.

3) Добуток послідовностей: { xn }×{ yn } = { xn × yn }.

4) Частка послідовностей: при { yn } ¹ 0.

 

Обмежені й необмежені послідовності.

Визначення. Послідовність { xn } називається обмеженою, якщо існує таке число М >0, що для будь-якого n вірне нерівність:

 

тобто всі члени послідовності належать проміжку (– М; M).

 

Визначення. Послідовність { xn } називається обмеженою згори, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

 

 

Визначення. Послідовність { xn }називається обмеженої знизу, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

 

 

Приклад. { xn } = n – обмежена знизу {1, 2, 3, … }...

 

Визначення. Число а називається границею послідовності { xn }, якщо для будь-якого позитивного e >0 існує такий номер N, що для всіх n > N виконується умова:

 

Це записується: .

У цьому випадку говорять, що послідовність { xn } збігається до а при n ®¥.

 

Властивість: Якщо відкинути яке-небудь або число членів послідовності, то виходять нові послідовності, при цьому якщо сходиться одна з них, то сходиться й інша.

 

Приклад. Довести, що границя послідовності .

 

Нехай при n > N вірно , тобто . Це вірно при , таким чином, якщо за N взяти цілу частину від , то твердження, наведене вище, виконується.

 

Приклад. Показати, що при n ®¥ послідовність 3, має границею число 2.

 

Отже: { xn }= 2 + 1/ n; 1/ n = xn – 2

Очевидно, що існує таке число n, що , тобто .

 

Теорема. Послідовність не може мати більше однієї границі.

 

Доведення. Припустимо, що послідовність { xn } має дві границі a і b, не рівні один одному.

xn ® a; xn ® b; a ¹ b.

Тоді за визначенням існує таке число e >0, що

Запишемо вираз:

А тому що e – будь-яке число, те , тобто a = b. Теорему доведено.

 

 

Теорема. Якщо xn ® a, то .

 

Доведення. З xn ® a треба, що . У той же час:

 

, тобто , тобто . Теорему доведено.

 

Теорема. Якщо xn ® a, то послідовність { xn } обмежена.

 

Слід зазначити, що обернене твердження невірне, тобто з обмеженості послідовності не слідує її збіжність.

 

Наприклад, послідовність не має границі, хоча

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)