АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задание. 1.В классе «Итерационные методы решения СЛАУ» («IterationMethods») реализуйте метод скорейшего спуска («methodSkorSpusk»)

Читайте также:
  1. Window(x1, y1, x2, y2); Задание окна на экране.
  2. Б) Задание на проверку и коррекцию исходного уровня.
  3. В основной части решается практическое задание.
  4. Второй блок. Количество баллов за задание – 3.
  5. Домашнее задание
  6. Домашнее задание
  7. Домашнее задание
  8. Домашнее задание
  9. Домашнее задание
  10. Домашнее задание
  11. Домашнее задание
  12. Домашнее задание

1.В классе «Итерационные методы решения СЛАУ» («IterationMethods») реализуйте метод скорейшего спуска («methodSkorSpusk»). Для реализации метода используйте объекты класса «SquareMatrix» и «Vector». Для перемножения матрицы и вектора, для нахождения скалярного произведения векторов используйте методы, реализованные в данных классах. Доступ к элементам осуществляйте с помощью методов getElement и setElement.

2. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом скорейшего спуска () в соответствии с вариантом.

3. Решите эту же задачу, используя пакет для математических вычислений.

4. Сравните результат выполнения п. 2 с решением, полученным в п. 3.

 

Варианты заданий

 

№ 1 № 2
№ 3 № 4
№ 5 № 6
№ 7 № 8
№ 9 № 10
№ 11 № 12
№ 13 № 14
№ 15 № 16

Глава 4
ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ

Пусть А - действительная числовая квадратная матрица размера (n*n).

Ненулевой вектор , удовлетворяющий условию

 

, (1)

 

называется собственным вектором матрицы А.

Число l в равенстве (1) называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор X соответствует (принадлежит) собственному значению l.

Равенство (1) равносильно однородной относительно X системе:

 

. (2)

 

Система (2) имеет ненулевое решение для вектора X (при известном l) при условии . Это равенство есть характеристическое уравнение:

 

, (3)

 

где - характеристический многочлен n -й степени.

Корни характеристического уравнения (3) являются собственными (характеристическими) значениями матрицы А, а соответствующие каждому собственному значению , ненулевые векторы , удовлетворяющие системе

 

или , (4)

являются собственными векторами.

Требуется найти собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Поставленная задача часто именуется второй задачей линейной алгебры [7].

Проблема собственных значений (частот) возникает при анализе поведения мостов, зданий, летательных аппаратов и других конструкций, характеризующихся малыми смещениями от положения равновесия, а также при анализе устойчивости численных схем. Характеристическое уравнение вместе с его собственными значениями и собственными векторами является основным в теории механических или электрических колебаний на макроскопическом или микроскопическом уровнях.

Множество всех собственных значений матрицы А называется спектром матрицы А. Различают полную и частичную проблему собственных значений, когда необходимо найти весь спектр и собственные векторы либо часть спектра, например: и . Величина называется спектральным радиусом.

Если для собственного значения найден собственный вектор , то вектор , где m – произвольное число, также является собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению , т.е. все собственные векторы матрицы определяются с точностью до числового множителя.

Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы; k -кратному корню характеристического уравнения соответствует не более k линейно независимых собственных векторов.

Симметрическая матрица имеет полный спектр действительных собственных значений ; k -кратному корню характеристического уравнения симметрической матрицы соответствует ровно k линейно независимых собственных векторов.

К настоящему времени создано немало специальных вычислительных приемов, упрощающих численное нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы. Все эти методы, как и в случае проблемы численного решения системы линейных алгебраических уравнений, можно разделить на точные и итерационные методы [8].

К первой группе относятся методы, по которым сначала строят собственный многочлен матрицы, затем, находя его корни, получают собственные значения матрицы и уже по ним находят соответствующие собственные векторы. Методы этой группы получили название точных методов. Точные методы позволяют решать полную проблему собственных значений, т.е. дают возможность находить все собственные значения матрицы и все принадлежащие им собственные векторы. Полная проблема собственных значений в некоторых случаях может быть решена также и специальными итерационными методами. Эти методы, конечно, более трудоемки, чем точные методы.

В методах второй группы собственные значения матрицы определяются непосредственно, без обращения к собственному многочлену, при этом одновременно вычисляются и соответствующие собственные векторы. Вычислительные схемы таких методов носят итерационный характер. В них используется многократное умножение матрицы на вектор. Схемы этого типа обычно приводят к последовательности векторов, имеющей своим пределом собственный вектор, и к числовой последовательности, предел которой является соответствующим собственным значением. Как правило, итерационные методы позволяют с достаточной точностью определить лишь первые (наибольшие по модулю) собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Поэтому методы этой группы чаще всего применяются к решению частичной проблемы собственных значений, т.е. их чаще используют лишь для отыскания одного или нескольких собственных значений матрицы и соответствующих собственных векторов. Большим достоинством итерационных методов перед точными является простота и единообразие производимых действий, что особенно ценно при использовании быстродействующих вычислительных машин.

Полная и частичная проблемы собственных значений сильно различаются как по методам их решения, так и по области приложений. Для решения полной проблемы собственных значений используют метод Данилевского, QR-алгоритм, итерационный метод вращения (метод Якоби). Степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора - метод решения частичной проблемы собственных значений.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)