АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

П 1.1 Источники погрешностей

Читайте также:
  1. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  2. I.4. Источники римского права
  3. IV. Рекомендуемые источники
  4. IV. Рекомендуемые источники
  5. V. Рекомендуемые источники
  6. Акмеизм как литературная школа. Основные этапы. Эстетика, философские источники. Манифесты.
  7. Акты международных организаций как источники международного права
  8. Алгоритм оценки погрешностей прямых измерений физических величин
  9. Антропогенное воздействие на атмосферу. Источники и последствия загрязнений.
  10. Антропогенное воздействие на гидросферу. Источники и последствия загрязнений.
  11. Антропогенное воздействие на литосферу. Источники и последствия загрязнений.
  12. Антропогенные источники воздействия на окружающую среду

 

Анализ ошибок (или, как говорят чаще, погрешностей) является неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи. Часть этих погрешностей связана с вычислениями, которые в наше время производятся на ЭВМ. С увеличением скорости производства вычислений и с вовлечением в счетный процесс чисел с большим количеством значащих цифр, как это делается в ЭВМ, потребность в оценке фактической точности результата лишь возрастает. При этом следует правильно рассматривать сам термин «ошибка», который в данном случае выражает объективно неизбежную погрешность, сопровождающую процесс решения задачи, начиная с измерения исходных значений. Задача анализа ошибок сводится, по существу, к отысканию их надежных границ и соблюдению условий, обеспечивающих их минимальное распространение.

Возникновение, накопление и распространение ошибок проходят через все стадии решения прикладной задачи, начиная с получения значений исходных данных.

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:

1) математическое описание задачи является неточным, т.к. при описании модели всегда присутствуют определенные ограничения;

2) неточность задания исходных данных модели. Исходные данные чаще всего известны приближенно, что связано с неточностью измерения числовых параметров различными приборами;

3) метод, применяемый для решения задачи, как правило, является приближенным. Получение точного решения исходной математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

4) действия над приближенными числами, а также обязательное округление, связанное с двоичным представлением чисел и конечностью разрядной сетки ЭВМ, вносят дополнительную погрешность.

Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:

1) погрешностью математической модели;

2) погрешностью исходных данных (неустранимая погрешность);

3) погрешностью метода;

4) вычислительной погрешностью.

П 1.2 Вычисление абсолютной и относительной
погрешностей

 

Пусть X – точное значение некоторой величины, а х – наилучшее из известных приближений. В этом случае ошибка (или погрешность) приближения х определяется разностью Х – х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают абсолютную величину ошибки:

 

. (1)

 

Величина , называемая абсолютной погрешностьюприближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно знать точное значение X. На практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое число , для которого справедливо неравенство

 

. (2)

Число называют предельной абсолютной погрешностью (или границей абсолютной погрешности)приближения х.

Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х – это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки к модулю значения X (когда ононеизвестно, то к модулю приближения х).

Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

 

. (3)

 

Формула (3) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:

 

. (4)

Относительную погрешность выражают обычно в процентах, и тогда она умножается на 100.

Неравенство (2) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку [4]:

 

, (5)

 

которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

 

. (6)

 

Пример 1. Найти абсолютную и относительную погрешности числа , заданного тремя цифрами после запятой, т.е. .

Тогда абсолютную погрешность рассчитаем по формуле (1)
.

Предельной абсолютной погрешностью будет верхняя граница абсолютной погрешности (2), т.е. .

Вычислим предельную относительную погрешность по формуле (3) .

Тогда можем записать ; .

В дальнейшем рассматриваются только предельные погрешности, поэтому слово «предельная» будет опускаться.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)