АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Арифметические операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями

Читайте также:
  1. АК. Структура белков, физико-химические свойства (192 вопроса)
  2. Активные и пассивные операции Банка России
  3. Активные и пассивные операции коммерческих банков.
  4. Активные минеральные добавки. Смешанные цементы, их свойства.
  5. Активные операции банка: направления, разновидности.
  6. АКТИВНЫЕ ОПЕРАЦИИ БАНКОВ
  7. Анализ свойства вязкости
  8. Антигены, основные свойства. Антигены гистосовместимости. Процессинг антигенов.
  9. Арифметическая середина и ее свойства.
  10. Арифметические команды
  11. Арифметические операции в позиционных системах счисления

ТЕОРЕМА: Если {х n },{у n } – сходящиеся, то {хn ± у n } – сходящаяся, и lim n n ± у n) = lim n х n ±lim n у n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а = lim n х n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N1 (ε): ∀ n ≥ N1n -а|< ε’
∃ b = lim n y n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N2 (ε): ∀ n ≥ N2 |y n -b|< ε’

lim n n ± у n) = a±b? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n > N | хn ± у n – (a±b)| < ε
|(х n-а) ± (у n-b)| < | х n-а | + | у n-b | < ε’+ ε’ (возьмем N = max (N1, N2), ∀ n ≥ N) = 2*ε‘

Пусть ε =2*ε‘. Тогда ∀ ε > 0 (ε’ = ε/2) ∃ N = max (N1(ε ’), N2(ε ’)): ∀ n > N | хn ± у n – (a±b)| < ε – что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если {х n }– сходящаяся, и ∀ α ∈ R, тогда {α*х n }– сходящаяся и lim n α*х n = α* lim n х n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а = lim n х n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N(ε’) ∀ n ≥ N |х n -а|< ε’

lim n α*х n = α*а? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε) ∀ n ≥ N |α*х n –α*а|< ε
|α*(х n -а)| = |α|*|х n -а|
Если α = 0, то 0 < ε – очевидно
Если α ≠ 0, то |α|*|х n -а| ≤ |α|*ε’. Пусть ε = |α|*ε’.

Тогда, ∀ ε > 0 (ε’ = ε /|α|) ∃ N ∀ n ≥ N |α*х n –α*а|< ε – что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если {х n },{у n } – сходящиеся, то {хn * у n } – сходящаяся, и lim n n * у n) = lim n х n *lim n у n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

∃ а = lim n х n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N1 (ε): ∀ n ≥ N1 n -а|< ε’
∃ b = lim n y n ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N2 (ε): ∀ n ≥ N2 |y n -b|< ε’

lim n n * у n) = a*b? ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N (ε): ∀ n > N | хn * у n – (a*b)| < ε
| хn * у n – у n *а + у n *а – (a*b)| = | (хn-а)* у n + a*(у n - b)| < |(хn-а)* у n | + | a*(у n - b)|

n} – сходящаяся, ⇒ ∃ М > 0 ∀ n ∈ N | у n | ≤ М. N = max (N1, N2)

|(хn-а)* у n | + | a*(у n - b)| ≤ М*|(хn-а) | + | a*(у n - b)| < М* ε’+ ε’*|а| = ε’*(М+|а|)

Пусть ε = ε’*(М+|а|).

Тогда, ∀ ε > 0 (ε’ = ε / (М+|а|), N1(ε), N2(ε)), N = max (N1, N2), ∀ n ≥ N | хn * у n – (a*b)| < ε – доказано.

ЛЕММА: Если lim n у n = b, b ≠ 0, тогда ∃ N: ∀ n ≥ N |у n| > |b|/2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim n у n = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N1(ε) ∀ n ≥ N1 |y n -b|< ε

Пусть ε = |b|/2>0

|y n -b|<|b|/2 | *(-1)
- |y n -b|>-|b|/2

|b| = |b – yn + yn| ≤ | b – yn | + | yn |
| yn | ≥ |b| - | b – yn | = |b| - |b| /2 = |b| /2
| yn | ≥ |b| /2 - что и требовалось доказать.

ЛЕММА: Если lim n у n = b, b ≠ 0, тогда lim n 1/у n = 1/b

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim n у n = b ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N (ε’) ∀ n ≥ N |y n -b|< ε’
lim n 1/у n = 1/b ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N2(ε’) ∀ n ≥ N2 |1/y n -1/b|< ε’

∀ n ≥ N1, | yn | ≥ |b| /2 ⇔ 1/ | yn | < 2/|b|

|1/y n -1/b| = | b - y n | / | y n |* | b | < 2*| b - y n | / b2 < 2*ε’/b2

Тогда, ∀ ε > 0 (ε’ = ε*b2/2, N2(ε’)) N = max (N1,N2): ∀ n ≥ N |1/y n -1/b|< ε’ – доказано

ТЕОРЕМА: Если {х n },{у n } – сходящиеся, lim n у n ≠ 0, то {х n n } – сходящаяся и lim n х n n = lim n х n /lim n у n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim n х n n = lim n n*(1/ у n)) = lim n х n* lim n 1/у n = lim n х n * (1/ lim n у n) = = lim n х n / lim n у n (по предыдущим леммам и теоремам)

Бесконечно малые последовательности и их свойства

{xn} – бесконечно малая последовательность ⇔ lim n х n = 0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N(ε): ∀ n ≥ N |х n| < ε

Свойства бесконечно малых последовательностей:

{xn} и {уn} – бесконечно малые последовательности

· {xn±уn} – бесконечно малая

· ∀ α ∈ R {α*xn} – бесконечно малая

· {xnn} – бесконечно малая

· {уn} – ограниченная, тогда {xnn} – бесконечно малая

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

lim n xn = 0 ⇔ ∀ ε’ > 0 ∃ N(ε’) ∀ n ≥ N | xn | < ε
n} – ограниченная ⇔ ∃ М > 0: ∀ n ∈ N | уn | < М

Тогда ∀ n ≥ N, |xnn| = | xn |*| уn | < М*ε’
Следовательно, ∀ ε > 0 (ε’ = ε / М) ∃ N (ε’): ∀ n ≥ N |xnn| < ε - что и требовалось доказать

· {1/xn} – бесконечно большая

Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса(о существовании предела у монотонной последовательности)

{xn} – монотонно возрастающая, если х n +1 ≥ х n

{xn} – монотонно убывающая, если х n +1 ≤ х n

{xn} – строго монотонно возрастающая, если х n +1 > х n

{xn} – строго монотонно убывающая, если х n +1 < х n

ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА:

1) Если {xn} – монотонно возрастающая и ограничена сверху, то lim n xn = sup {xn}

2) Если {xn} – монотонно возрастающая и не ограничена сверху, то lim n xn = +∞

3) Если {xn} – монотонно убывающая и ограничена снизу, то lim n xn = inf {xn}

4) Если {xn} - монотонно убывающая и не ограничена снизу, то lim n xn = -∞

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

1) {xn} - ограничена сверху ⇔ ∃ sup {xn} = a ⇔ ∀ xn: xn ≤ а, ∀ ε > 0 х N > а – ε.
{xn} - монотонно возрастающая ⇔ х n +1 ≥ х n
∀ n ≥ N х n ≥ хN > а-ε
х n < а ⇒ х n ∈ (а-ε, а ]
∀ ε > 0 ∃ N (ε) ∀ n ≥ N х n ∈ (а-ε, а] ⇒ lim n х n = а-0 – доказано

2) {xn} - не ограничена сверху ⇔ ∀ b ∈ R ∃N(b) ∀ n ≥ N х n > b. Пусть b = 1/ε.
∀ ε > 0 (b = 1/ε) ∃N(b) ∀ n ≥ N х n > 1/ε ⇒ lim n х n = +∞ - доказано

3) {xn} - ограничена снизу ⇔ ∃ inf {xn} = a ⇔ ∀ х n : х n ≥ а, ∀ ε > 0 ∃ хN < а+ε
{xn} - монотонно убывающая ⇔ х n+1 ≤ х n
∀ n ≥ N х n ≤ х N <а+ε, х n ≥ а ⇒ х n ∈ [а, а+ε)
∀ ε > 0 ∃ N(ε) ∀ n ≥ N х n ∈ [а, а+ε) ⇒ lim n х n = а+0 – доказано.

4) {xn} - не ограничена снизу ⇔ ∀ b ∈ R ∃N(b): ∀ n ≥ N х n < b. Пусть b = -1/ε.
∀ ε > 0 (b = -1/ε) ∃N(b): ∀ n ≥ N х n < -1/ε ⇔ lim n х n = -∞ - доказано.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)