АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Малые продольные колебания упругого стержня

Читайте также:
  1. D большие, средние, малые
  2. I. Колебания цен сырья, непосредственное влияние их на норму прибыли
  3. Д) Проверка устойчивости колонны как единого стержня в плоскости рамы
  4. Деление детей на малые группы
  5. Истечение жидкости через малые отверстия
  6. Истечение через малые отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре
  7. Истечение через малые отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре
  8. Какая связь между стержнями и узлами статически определимой фермы?
  9. Колебания равновесного объема производства. Рецессионный и инфляционный разрывы
  10. Колебания совокупного предложения
  11. Колебания, возникающие при резании, регистрируются с помощью датчиков колебания — акселерометров, основанных на использовании пьезоэлектрического эффекта.
  12. Контрольная работа «Колебания и волны»

Под действием внешних сил стержень начинает колебаться.

 

Искомая функция – величина смещения к моменту времени t точки, имевшей в положении равновесия координату х.

 

Рис. 6.

Рис. 7.

 

Рассмотрим некоторые ограничения:

 

колебания точек стержня совершаются вдоль оси , т.е. v = v x, T=Tx, F=Fx;

работает закон Гука, причем ;

колебания малы (по аналогии с 2.1).

 

Введем характеристики деформации.

 

Если длина отрезка в положении равновесия, а – его длина в смещенном положении, тогда – абсолютное удлинение отрезка, а – его относительное удлинение.

 

Пусть

 

 

 

При рассмотрении данного участка, его начало – переходит в , а его конец – переходит в , тогда

 

,

 

Относительное удлинение примет вид

 

 

Если , получаем:

 

Силу натяжения по закону Гука представим как

 

 

Будем пользоваться вторым законом Ньютона:

 

где , а .

Введем линейную плотность массы

 

.

Если стержень однороден, то . Запишем изменение импульса

 

,

 

.

В нашем случае .

 

Импульс силы равен

 

тогда по второму закону Ньютона получаем

 

Легко видеть, что v

Проекция векторного равенства на ось дает

 

.

 

Воспользуемся теоремой о среднем, получим

 

 

Делим последнее равенство на ∆х∆t, устремляем ∆х и ∆t к нулю

, ,

и получаем уравнение

 

. (2.2)

 

Пусть – константа, т.е. не зависит от x, тогда уравнение (2.2) примет вид

 

.

 

Если ввести величины , то получим

(2.2’)

 

(2.2’) – уравнение продольных колебаний стержня, которое совпадает с уравнением для поперечных колебаний струны; т.е. 2 разных математических процесса описываются одинаково.

 

2.3. Малые поперечные колебания упругой мембраны

 

Под мембраной будем понимать поверхность , опирающуюся на замкнутый контур .

 

Введём некоторые ограничения

 

, где – скорость точки мембраны.

Точки мембраны колеблются перпендикулярно плоскости, в которой она находится в положении равновесия.

– отклонение от положения равновесия точки с координатами в момент времени . Скорость перпендикулярна плоскости . Таким образом, любое сечение перпендикулярно плоскости , и для него может быть построена задача, аналогичная 2.1.

 

б) Будем считать мембрану гибкой, т.е. силы натяжения направлены по касательной к мгновенному профилю.

 

 

Введём линейную плотность силы , тогда

Рис. 8.

 

Колебания малы и происходят без растяжения мембраны (рис. 8):

 

 

, что дает:

 

 

Возьмём направление , в котором мембрана имеет наиболее крутой наклон, и рассечём мембрану в этом направлении (рис. 9).

 

 

Рис. 9.

 

максимальный угол наклона касательной к оси x.

 

 

Градиент u направлен в сторону наибольшего возрастания функции u.

 

Проекции равны

 

 

 

 

, тогда

 

Производная остаётся постоянной и не зависит от времени.

Участок мембраны при колебаниях не сдвигается в плоскости за время (рис. 10). Пусть за время

 

Рис. 10.

 

за время . Получаем условие отсутствия сдвига.

 

 

Если равны интегралы по произвольной области, то равны подынтегральные выражения.

 

и не зависит от .

Аналогично

 

 

, не зависит от . Следовательно,

 

.

 

Введем поверхностную плотность массы. Пусть – малый элемент мембраны и – масса мембраны, тогда

.

Используем второй закон Ньютона

 

.

 

Для малого элемента мембраны dS: ,

Для конечного по размерам участка ,

.

Получаем

 

 

Введем поверхностную плотность внешней силы

 

, , , тогда второй закон Ньютона перепишется в виде

 

.

 

Проектируем на ось

 

 

.

 

Теорема Остроградского – Гаусса имеет вид в двумерном случае

 

, где

 

. Тогда

;

 

. В нашем случае

.

Имеем интегральное равенство для произвольных областей, следовательно, равны подынтегральные выражения.

 

.

 

Воспользуемся теоремой о среднем:

где , и получим

.

После предельного перехода

получаем

,

 

 

В отличие от одномерных задач (2.1) и (2.2) уравнение (2.3) является двумерным.

Проверяем размерность :

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.018 сек.)