АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Опуклість і угнутість графіка функції. Точки перегину

Читайте также:
  1. III. Оборот переменного капитала с общественной точки зрения
  2. Апарат економіко-математичної обробки та аналізу даних в середовищі MS Excel: математичні, статистичні, фінансові функції.
  3. БАНКИ, ЇХ ВИДИ ТА ФУНКЦІЇ. НЕБАНКІВСЬКІ ФІНАНСОВІ УСТАНОВИ.
  4. Билет №18. Рассеивание ЗВ в атм воздухе. Осн факторы, влияющие на рассеивание. Понятия См, Хм, um. Изм концентрации.осн реперные точки.
  5. Взгляд с практической точки зрения
  6. Вибір цілі та точки прицілювання.
  7. Визначення геш-функції. Побудова геш-функції, виходячи з блочного шифра.
  8. Визначення точки беззбитковості
  9. Вимоги до побудови комерційних служб та їх функції.
  10. Вироблення навичок юридичної кваліфікації нестандартних з точки зору права ситуацій.
  11. Вихідні дані для побудови графіка
  12. Воздействие на БИОЛОГИЧЕСКИ АКТИВНЫЕ ТОЧКИ

Визначення. Дуга називається опуклою, якщо вона перетинається з будь-якою своєю січною не більш, ніж в двох крапках. Дуга АВ на мал.7а) опукла, а на мал.7б) неопукла. В дуги на мал.7б) є січна М 1 М 2, яка окрім точок М 1 і М 2 перетинається з дугою АВ ще в інших, відмінних від цих точках М 3.

.

М 2
М 1
М 1
М 2
А
В
М 2
М 2
М 1
М 1
М 3
М 3
В
А
а)
б)

 

Мал.7

Розглядатимемо лінії, що є графіками безперервних функцій . Якщо така лінія опукла, то її опуклість обернена або вгору (мал.8.І), або вниз (мал.8.ІІ).

В
А
C
О
Y
X
I
II
х 1
х 2
х 3

 

Мал.8

Лінії, обернені опуклістю вгору, умовилися називати опуклими, а обернені опуклістю вниз – увігнутими. Геометрично ясно, що опукла дуга лежить під будь-який своїй дотичній.

Точки на лінії, що відокремлюють опуклу дугу від увігнутої, називаються точками перегину. На мал. 11 крапка С відокремлює опуклу дугу АС від увігнутої СВ. У точці перегину дотична пересікає лінію; у околиці цієї крапки лінія лежить по обидві сторони від дотичної.

Зв'язок між другої похідної функції і опуклістю або угнутістю графіка функції встановимо на основі простих геометричних вистав, що свідчать про те, що інтервалу убування першої похідної відповідає ділянка опуклості графіка функції, а інтервалу зростання – ділянка угнутості.

Насправді, якщо дуга опукла, то при переміщенні точки дотику зліва направо кутовий коефіцієнт дотичної, тобто , як видно з мал..11.І, зменшується; спочатку він набуває всіх менших позитивних значень, потім стає рівним нулю, а потім і негативним. Таким чином, інтервал є інтервал убування функції .

Вірно і зворотне: якщо функція убуває, то і убуває кутовий коефіцієнт дотичної до лінії, при цьому дуга кривої лежатиме під будь-який своїй дотичній, тобто вона опукла. Абсолютно аналогічно можна встановити, що якщо дуга увігнута, то функція зростає. Так, для графіка функції, змальованого на мал..11.ІІ, дуга СВ увігнута і – інтервал зростання .

Скористаємося тепер властивістю, що встановлює зв'язок між характером зміни функції і знаком її похідної. Якщо > 0, то зростає, якщо < 0, то убуває. В результаті ми отримуємо наступну залежність між другою похідною і характером опуклості або угнутості графіка функції.

Теорема. Якщо друга похідна усюди в інтервалі від'ємна, то дуга лінії , відповідна цьому інтервалу, опукла. Якщо друга похідна усюди в інтервалі додатьня, то дуга лінії , відповідна цьому інтервалу, увігнута.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)