Линеаризация моделей

Для приведения нелинейных моделей к линейному виду используют процедуры замены переменных и логарифмирования. Далее приведены примеры линеаризации наиболее распространенных функций.

· Гиперболическая функция:

Сделаем замену переменных:

,

уравнение примет вид:

.

· Полулогарифмическая функция:

Сделаем замену переменных:

,

уравнение примет вид:

.

· Обратная функция:

Сделаем замену переменных:

,

уравнение примет вид:

.

· Показательная функция:

Прологарифмируем уравнение:

,

сделаем замену переменных:

, ,

уравнение примет вид:

· Степенная функция:

Прологарифмируем уравнение:

,

сделаем замену переменных:

, , ,

уравнение примет вид:

.

Пример. Исследование зависимости розничного товарооборота магазинов от среднесписочного числа работников.

В таблице приведены данные по 8 магазинам. x – численность работающих, (чел.), y – величина розничного товарооборота (млн. руб.).

№ п/п	x	y
		0,5	0,43
		0,7	0,661
		0,9	0,998
		1,1	1,239
		1,4	1,373
		1,4	1,45
		1,7	1,604
		1,9	1,854

Средние значения показателей:

Вспомогательные значения для определения параметров регрессионной модели:

Показатели вариации показателей:

Оценки параметров парной линейной регрессии:

Выборочное уравнение регрессии:

Интерпретация модели:

При увеличении численности занятых на одного работника величина товарооборота возрастет на 19 тысяч рублей. Свободный член в модели не имеет экономического смысла (он равен здесь величине товарооборота при нулевой численности работников).

Оценки вариации параметров уравнения регрессии:

Расчетные значения статистики Стьюдента:

Оба коэффициента значимы при . Это означает, что ошибаясь в 5 случаях из 100, можно утверждать, что связь между x и y существенна.

Коэффициент детерминации:

.

Это означает, что вариация товарооборота на 97% процентов обусловлена численностью работников и только на 3% - остальными факторами.

Интервальные оценки для коэффициентов при :

Это означает, что истинные значения коэффициентов в модели с вероятностью 95% лежат в указанных пределах.

Используем модель для прогнозирования. Найдем оценку прогнозного значения товарооборота для численности работников 140 человек.

Точечная оценка прогноза:

Стандартная ошибка среднего значения прогноза:

Интервальная оценка среднего значения прогноза:

или

Стандартная ошибка индивидуального значения прогноза:

Интервальная оценка индивидуального значения прогноза:

или .

Вопросы для самопроверки