АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Логические операции

Читайте также:
  1. C. Число элементов в операции
  2. I. Психологические и поведенческие техники, подготавливающие к увеличению продолжительности жизни.
  3. II. Операции за февраль руб.
  4. II.Хозяйственные операции за июнь 200_ г. руб.
  5. III. Психофизиологические механизмы психических процессов и регуляции поведения личности
  6. IV.1 Депозитные операции банка
  7. V. Кибернетические (или постбиологические) методы достижения бессмертия (искусственная жизнь “в силиконе”)
  8. V. Операции в пользу мира в информационный век
  9. V2: Экологические факторы.
  10. XI. Психологические особенности уверенной в себе личности
  11. Абсолютные и относительные ссылки. Стандартные формулы и функции. Логические функции
  12. Академические филологические школы и русская фольклористика.

1) Инверсия (операция отрицания или логическое отрицание, НЕ). Обозначается ù, `.

Если А - истинное высказывание, то `А – ложное высказывание, и наоборот.

 

 
 
Операция отрицания выражается словосочетанием «неверно, что» и определяется следующей таблицей истинности:  


А

_ А
   
   

2) Конъюнкция (логическое умножение, соответствует союзу И). Обозначается Ù, ×, &, математическим знаком умножения или опуская его.

Например: С = «Солнце светит и нет дождя».

Обозначим А = «Солнце светит», В= «нет дождя».

Тогда высказывание С можно записать: А Ù В (или А&В, А×В, АВ).

Таким образом, сложное высказывание А Ù В истинно в том и только том случае, когда оба высказывания, А и В, являются истинными.
Таблица истинности:

А В А&В (АВ)
     
     
     
     

3) Дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ), имеет два различных значения. Следует различать исключающее «или» и неисключающее «или».

 

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении «Обычно в 8 вечера я смотрю теле­визор или пью чай» союз «или» взят в неисключающем (объедини­тельном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией или просто дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с просмотром телепередач.)

В высказывании «Данный глагол I или II спряжения» союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле.Такаяоперация называется строгой дизъюнкцией.

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

Высказывание Вид дизъюнкции
Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона Строгая
Студент едет в электричке или читает книгу Нестрогая
Ты выйдешь замуж или за Петю, или за Сашу Строгая
Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано) Строгая
Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать Нестрогая

 


 


а) Операция дизъюнкция (логическое сложение, нестрогая дизъюнкция), соответствует неисключающему ИЛИ, обозначается Ú, +.

 

  А   В   АÚВ (А+В)
     
     
     
     

Таким образом, простая дизъюнкция АÚВ (А + В) ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В.


б) Для высказывания, соответствующего исключающему ИЛИ (строгая дизъюнкция), используется словосочетание или…, или (либо…, либо). Строгая дизъюнкция обозначается А"В.

 

  А   В   А"В
     
     
     
     

Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.

 


 

4) Импликация. Выражается словосочетанием «если … то». Импликация А ® В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно. Таблица истинности импликации имеет следующий вид:

Первые две строки таблицы говорят о том, что из ложного высказывания можно получить как истинное, так и ложное высказывание. Для запоминания: 1 ® 0 = 0
А

В А®В
     
     
1    
     

( Из опыта: Операция импликации (логического следования) является наиболее сложной для учащихся, так как она самая «формально опреде­ленная» и не подкрепляется «здравым смыслом». В процессе ее изучения имеет смысл поговорить о формальном исполнителе и его отличии от неформального.)

Примеры импликаций:

1) Если клятва дана, то она должна выполняться.

2) Если число делится на 9, то оно делится на 3.

В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания.

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассматривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»;

1) Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.

2) Если я — Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Объяснить операцию импликацию можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания:

А = На улице дождь. В = Асфальт мокрый.

А®В = «Если на улице дождь, то асфальт мокрый.»

Тогда, если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В = 1), то это правильно. Но если вам скажут, что на улице идет дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

Таблица истинности: Пояснение:
A B А®В Смысл высказываний А и В для указанных значений Значение высказывания Если на улице дождь, то асфальт мокрый
А В
      Дождя нет Асфальт сухой Истина
      Дождя нет Асфальт мокрый Истина
      Дождь идет Асфальт сухой Ложь
      Дождь идет Асфальт мокрый Истина

 

5) Операция эквиваленция обозначается знаками «, =, Û. Сложное высказывание А«В
(А эквивалентно В) истинно тогда и только тогда, когда и А и В истинны, или когда и А и В – ложны.

А В А«В
     
     
     
     

 

Сводная таблица логических операций

(заполняется учащимися самостоятельно):

 

  Дизъюнкция Конъюнк Импликация Эквивален-
Высказывания Простая Строгая ция   ция
А В А+В А"В Аž В Аà В А«В
             
             
             
             

 

Ниже приведена таблица логических операций и их перевода на естественный язык.

 

Операция Обозначение Перевод на естественный язык
Инверсия (отрицание) Ā, ùА, не А не А; неверно, что А
Конъюнкция (логическое произведение) АВ, АÙВ, А и В, А and В, А´В, А&В, А×В и А, и В; как А, так и В; А вместе с В; А несмотря на В; А, в то время как В
Дизъюнкция простая (логическая сумма, не исключающее ИЛИ)   А+В, А Ú В, А или В, А or В   А или В
Дизъюнкция строгая (исключающее ИЛИ) А"В, А Å В или А или В либо А, либо В
Импликация А®В, АÞВ Если А, то В; В если А; В необходимо для А; А достаточно для В; А только тогда, когда В; В тогда, когда А; все А есть В
Эквиваленция А«В, АÛВ А равно В; А эквивалентно В; А необходимо и достаточно для В; А тогда и только тогда, когда В

 

Приоритет выполнения операций: при отсутствии скобок первой всегда выполняется операция отрицания, затем конъюнкция, дизъюнкция, импликация и в последнюю очередь эквиваленция.

 

Упражнения.

1. Даны два высказывания:

А={Число 5 - простое},

В={Число 4 - нечетное},

Очевидно, что А=1, В=0.

В чем заключаются высказывания:

а) Ā, б) `В, в) АВ, г) А+В д) А®В

Какие из высказываний а) – г) истинны? Составьте таблицы истинности.

2. Найдите значения выражений:


а) (1 + 1) Ú (1 + 0);

б) ((1 + 0) + 1) + 1;

в) (А + 1) + (В + 0);

г) (0 Ù 1) Ù 1;

д) 1 Ù (1 Ù 1) Ù 1;

е) ((1 Ú 0) Ù (1 Ù 1) Ù (0 Ú 1);

ж) ((1 Ù А) Ú (В Ù 0)) Ú 1;

з) ((1 Ù 1) Ú 0) Ù (0 Ú 1);

и) ((0 Ù 0) Ú 0) Ù (1 Ú 1);

к) ((0 × 1) + (1 + 1)) × 1.


3. Переведите на язык алгебры логики высказывания:

I.

1) «Я поеду в Москву, и если встречу там друзей, то мы интересно проведем там время»

2) «Если я поеду в Москву и встречу там друзей, то мы интересно проведем там время»

3) «Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя».

4) «Если будет солнечная погода, то ребята пойдут в лес, а если будет пасмурно, то пойдут в кино»

5) «Неверно, что если погода пасмурная, то дождь тогда и только тогда, когда нет ветра».

6) «Если урок по информатике будет интересным, то ни Миша, ни Света, ни Вика не будут смотреть в окно»

Решение:

1) М × (В ® И); 2) (М × В) ® И; 3) В ® С ®`Д;

 

4) (С ® Л) × (`С ® К); 5) П ® (Д «`В); 6) И ® `М ×`С ×`В

II.

1) «Вам никогда не удастся создать мудрецов, если будете убивать в детях шалунов» (Ж.Руссо).

2) «Чтение художественной литературы – неоценимый источник познания жизни и законов ее борьбы».

3) Согласно легенде, право считаться родиной Гомера оспаривали семь городов: Смирна, Хиос, Колофон, Саламин, Родос, Аргос, Афины.

4) «Мудрость – это способность предвидеть отдаленные последствия совершаемых действий, готовность пожертвовать сиюминутной выгодой ради больших благ в будущем и умение управлять тем, что управляемо, не сокрушаясь из-за того, что неуправляемо» (Ракофф).

5) «Кто утратил стыд, того нужно считать погибшим» (Плавт).

6) «Верность друга нужна и в счастье, в беде же она совершенно необходима».

 

4. Являются ли высказываниями русские народные пословицы и поговорки? Приведите примеры. (Из опыта: Объявляется конкурс «Знаешь ли ты пословицы, которые являются высказываниями». Победителей обычно несколько, поощряются оценками и поощрительными аплодисментами одноклассников)

5. На конкурс авторских логических задач принимаются письменные работы учащихся (условие задачи + решение) в течение учебного года.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)