АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определение критериев подобия при известном

Читайте также:
  1. A. Определение элементов операций в пользу мира
  2. I. Определение потенциального валового дохода.
  3. I. Определение, классификация и свойства эмульсий
  4. II. Определение геометрических размеров двигателя
  5. II.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ЛА
  6. IV. Определение массы вредных (органических и неорганических) веществ, сброшенных в составе сточных вод и поступивших иными способами в водные объекты
  7. IX. Определение размера подлежащих возмещению убытков при причинении вреда имуществу потерпевшего
  8. P.2.3.2.1(с) Определение удельной теплоемкости твердых тел
  9. V. Предварительное определение хозяйства
  10. VIII. Определение размера страховой выплаты при причинении вреда жизни и здоровью потерпевших
  11. Б) Определение жёсткости
  12. Биотехнологии: общее определение

математическом описании

Пусть объект описывается уравнением (уравнение – размерная величина).

Любую размерную величину можно представить в виде произведения степенного комплекса размерной величины и безразмерной функции этих же величин.

Ф(p1p2…pn) = 0

Из свойств степенных комплексов безразмерная функция размерных величин может быть представлена в виде функции безразмерных степенных комплексов:

Ф(p1p2…pn) = j(p1p2…pn), где j(p1p2…pn) = 0 критериальное уравнение.

Если математическое описание группы заведомо подобных процессов известно и выглядит, например, как линейное дифференциальное уравнение,

(3.1)

решение которого (общий интеграл имеет вид):

(3.2)

Для конкретного процесса uc(t) изменения напряжения uc во времени t на конденсаторе С в последовательной цепи из конденсатора и активного сопротивления R, которая включается на постоянное напряжение Е, при нулевых начальных условиях. При различных значениях R, C, и Е процессы uc(t) заведомо будут иметь качественно одинаковый характер, что позволяет рассматривать их как группу подобных процессов. Переходный процесс описывается линейным дифференциальным уравнением:

(3.1а)

Решение которого имеет вид:

(3.2а)

Согласно правилу Фурье все члены уравнения, описывающего какой - либо физический процесс, имеют одинаковую размерность. Поэтому уравнение можно привести к безразмерному виду, если разделить его на один из членов, здесь uc:

,

если обозначить и , то формула примет вид:

(3.3а)

Для подобных процессов соотношения пропорциональности справедливы и для «точечных» значений и для малых отклонений от этих параметров D:

mu = u1c / u2c = Du1c / Du2c; mt = t1 / t2 = Dt1 / Dt2 (3.4a).

С учетом (3.4a) можно записать p1’ и p2’ в виде:

(3.5а)

Выражения для p1 и p2, имеющие вид безразмерных степенных комплексов параметров, характеризующих рассматриваемый процесс, называются критериями подобия; критерии подобия численно одинаковы для сходственных точек подобных процессов.

Аналогично приводится к безразмерному виду (3.1) путем деления на первый член:

(3.3)

Преобразования аналогичные (3.5а), с учетом (3.4а) позволяют получить для (3.3) систему критериев подобия вида:

(3.4)

P1,..., Pm - параметры рассматриваемого процесса, (Pi = x); cj, aj,..., w j - безразмерные числа, принимающие некоторые действительные, в том числе нулевые, значения.

Критерии подобия имеют вид безразмерных степенных комплексов параметров, которые характеризуют процесс.

 
 

Пример: Пусть процесс, происходящий в цепи представленной на рис.11 описывается уравнением:

Рис. 11 График процесса, происходящего в цепи

1 .

Тогда параметры, описывающие систему L, c, R, ω, i, u, t, и .

С точки зрения подобия (для вывода критерия подобия)

; .

Замена называется “способ интегральных оценок”.

 

Способ интегральных оценок - способ определения критериев подобия по известному математическому описанию процесса путем приведения его к безразмерному виду, при котором символы дифференцирования и интегрирования в выражениях для определения критериев подобия опускаются.

Вообще, существует две системы критериев подобия: первая - получаемая из дифференциального уравнения, вторая - из решения (общего интеграла) дифференциального уравнения. Однако обе системы критериев подобия идентичны, т.к. имеют одинаковый физический смысл.

Таким образом, интеграл дифференциального уравнения можно представить в виде функции критериев подобия, но при этом констатируется только факт возможности получения такой зависимости, вид связей критериев не устанавливается.

Следовательно, в описании системы - лишние параметры, тогда полный набор параметров P = {i, u, t, L, c, R, ω}, n=7.

Для определения количества критериев запишем размерность каждого параметра через основные единицы измерения L, M, T, I:

откидываем как независимую строку

(т.к. ранг матрицы определяется количеством независимых параметров).

Откидываем как зависимые строки: (6) [(4)-(3) = (6)], [(2)-(1).3+(3)=(4)],

а также 2-ой столбец, тогда максимальный возможный ранг матрицы = 3.

Так как определитель матрицы ≠ 0, тогда ранг матрицы 3, соответственно количество независимых параметров k = 3, тогда количество критериев

m = (n-k) = (7-3) = 4.

Исходное уравнение перепишем с учетом способа интегральных оценок:

,

где каждое из слагаемых имеет одинаковую размерность.

Поделим уравнение на 2-ое слагаемое, получим:

,

тогда критерии имеют вид:

Критериальное уравнение:

 

Определение критериев подобия с использованием теории размерности

(при неизвестном математическом описании)

1 шаг: Выявление параметров Рi, характеризующих процесс, .

2 шаг: Составление полной матрицы размерности параметров Рi (матрица А).

3 шаг: Определение количества зависимых и независимых параметров (k, m = n-k).

4 шаг: Любой зависимый параметр может быть представлен как

2 .

Если неизвестны математические описания процессов, критерии также можно получить. Для этого функциональную зависимость, полученную из эксперимента или расчета и имеющую в размерных физических величинах P1,..., Pj,..., Pm вид:

F(P1,..., Pj,..., Pm) = 0

Или, для рассмотренного примера F(uc, t, R, C, E) = 0 можно представить как

Fp(p1, p2,..., pm-k)

или

Fp(p1 = RC/t, p2, = E/uc) = 0,

где p1, p2,..., pm- k - критерии подобия.

Для определения критериев подобия в данном случае применяется метод анализа размерностей физических величин Pj, определяющих характер процесса. Возможность установления критериев подобия, когда вид функциональной зависимости неизвестен, создает предпосылки для представления данных экспериментального исследования в обобщенной форме и распространения результатов единичного эксперимента на группу или класс подобных процессов.

Допустим, что в качестве основных единиц измерения выбраны [a b …q], тогда

размерность 1-го параметра ,

2-го параметра ,

 

n-го параметра , где l- количество единиц измерения.

Рассмотрим уравнение 2 с точки зрения размерности.

- уравнение для p1,

где - известные, - неизвестные величины.

 

g1 = a1x1 + b1y1 +… + s1z1

g2 = a2x1 + b2y1 +… + s2z1

 
 


gl = alx1 + bly1 +… + slz1

Решив эти уравнения, находим критерии подобия по формулам:

, , … .

 

Пример: Математическое описание не известно.

1.Определим по методике вектор параметров

2,3 пункты см. выше k =3, m =4.

Группа независимых параметров (можно выбрать любые): [ U, R, c ].

Группа зависимых параметров [ I, t, L, w ].

По формуле находим 4 критерия подобия:

 

, , , .

Определим p1:

Получим систему уравнений


2x1 + 2y1 - 2z1 = 0 – степени при L

x1 + y1 - z1 = 0 – при M

-3x1 - 3y1 + 4z1 = 0 – при T

-x1 - 2y1 + 2z1 = 1 – при I

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

x1 + y1 - z1 = 0 x1 = 1

-3x1 3y1 + 4z1 = 0 Þ y1 = -1

-x1 - 2y1 + 2z1 = 1 z1 = 0

 

Определим p2:

Получим систему уравнений


2x2 + 2y2 - 2z2 = 0

x2 + y2 - z2 = 0

-3x2 - 3y2 + 4z2 = 1

-x2 - 2y2 + 2z2 = 0

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

 

x2 + y2 - z2 = 0 x2 = 0

-3x2 3y2 + 4z2 = 1 Þ y2 = 1

-x2 - 2y2 + 2z2 = 0 z2 = 1

 

Определим p3:

Получим систему уравнений


2x3 + 2y3 - 2z3 = 2

x3 + y3 - z3 = 1

-3x3 - 3y3 + 4z3 = -2

-x3 - 2y3 + 2z3 = -2

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

 

x3 + y3 - z3 = 1 x3 = 0

-3x3 3y3 + 4z3 = -2 Þ y3 = 2

-x3 - 2y3 + 2z3 = -2 z3 = 1

 

Определим p4:

Получим систему уравнений


2x4 + 2y4 - 2z4 = 0

x4 + y4 - z4 = 0

-3x4 - 3y4 + 4z4 = -1

-x4 - 2y4 + 2z4 = 0

 

Так как 1 и 2 уравнения зависимые, то получим следующую совместную систему:

 

x4 + y4 - z4 = 0 x4 = 0

-3x4 - 3y4 + 4z4 = -1 Þ y4 = -1

-x4 - 2y4 + 2z4 = 0 z4 = -1

 

Найдем виды критериев по формуле:

,

1) x1 = 1, y1 = -1, z1 = 0

2) x2 = 0, y2 = 1, z2 = 1

3) x3 = 0, y3 = 2, z3 = 1

4) x4 = 0, y4 = -1, z4 = -1

.

 

Рассмотренные положения относятся к случаю заведомо подобных процессов, т.е. определяют необходимые условия существования подобия. В связи с этим возникает вопрос об условиях, не только необходимых, но и достаточных для существования подобия. Такие обстоятельства, кроме равенства критериев, включают в себя требования подобия начальных и граничных условий сопоставляемых процессов.

Положения относительно необходимых и достаточных условий подобия изложены в виде первой, второй и третьей теорем о подобии, первые две - определяют необходимые, третья - необходимые и достаточные условия подобия.

 

Основные теоремы теории подобия

 

Теория подобия включает три основные теоремы: 1-ая теорема подобия (Теорема Ньютона-Бертранса) о небходимом условии подобия, 2-ая теорема подобия (Пи-теорема), 3-ая теорема подобия (Теорема Кирпичова-Гухмана) о необходимом и достаточном условии подобия.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.02 сек.)