АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Метод Гринберга

Читайте также:
  1. A) Метод опроса
  2. C) Любой код может быть вирусом для строго определенной среды (обратная задача вируса)
  3. I. Метод стандартизации
  4. I. Методы выбора инновационной политики
  5. I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
  6. I. Основные характеристики и проблемы философской методологии.
  7. I.ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
  8. II. ВИРУСОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД
  9. II. Вывод и анализ кинетических уравнений 0-, 1-, 2-ого порядков. Методы определения порядка реакции
  10. II. Методологічні засади, підходи, принципи, критерії формування позитивної мотивації на здоровий спосіб життя у дітей та молоді
  11. II. Методы прогнозирования и поиска идей
  12. II. Формальная логика как первая система методов философии.

Метод Гринберга, или метод конечных интегральных преобразований, является обобщением метода Фурье на случай неоднородного уравнения и неоднородных граничных условий.

 

Пусть

 

Задача D. Найти в области D решение U(x,y) уравнения Пуассона

 

(1)

 

из класса удовлетворяющее граничным условиям

 

(2)

(3)

Где - заданные непрерывные достаточно гладкие функции, причем

Теорема единственности, доказывающая аналогичную п.1.1.

Будем искать решение задачи (1)-(3) в виде

(4)

где - собственные функции и собственные значения задачи Штурма-Лиувилля

 

(5)

а

 

(6)

т.к.

 

 

Умножим уравнение (1) на и интегрируем по отрезку [0;a]:

(7)

Интегрируя два раза по частям в первом интеграле равенства (7), учитывая граничные условия (2), уравнение и условия из (5), получим

Поэтому выражение (7) можно записать в форме

 

(8)

где

(9)

а

(10)

Умножим граничные условия (3) на и интегрируя по отрезку [0,a], получим граничные условия по y для уравнения (8):

(11)

Общее решение однородного уравнения (8) имеет вид

 

, (12)

где - произвольные постоянные.

Для нахождения частного решения (8) применим метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Будем искать частное решение неоднородного уравнения (8) в форме (12), т.е.

, (13)

где - неизвестные переменные коэффициенты, для нахождения которых имеем систему

 

которая, в силу того, что

 

 

имеет единственное решение

 

 

т.е.

 

Подставляя найденные коэффициенты в (13), после преобразований, получим частное решение уравнения (8)

 

 

которое вместе с (12) приводит к общему решению уравнения (8), т.е.

 

(14)

 

Учтем в (14) условия (11). Получим

 

 

Подставляя коэффициенты и в (14), найдем решение задачи (8), (11) в виде

 

 

т.е.

 

, (15)

где

 

(16)

функция Грина задачи (8), (11).

 

Подставляя (15) в (6), из (4) найдем

 

Учтем в (17) представления (9)-(11).

Тогда

 

 

 

или

 

(18)

где

 

 

функция Грина задачи Дирихле для прямоугольника, причем

 

 

Формула (18) решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике совпадает без последнего интеграла с формулой решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике (см.п.1.1).


 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)